a, Xét tam giác BEC có:

BM = MC ( vì AM là trung tuyến hay M là trung điểm BC )

FM //EC  ( vì đường thẳng qua M và .// với EC cắt AB tại F )

=> BF = FE ( theo đường trung bình trong 1 tam giác )(đpcm)

b, tương tự, ta ap dụng với tam giác AFM có:

EI // FM ( vì EC // FM )

IA = IM ( I là trung điểm của AM )

=> E là trung điểm FA hay AE = EF

Theo câu a, ta được ; AE = EF = FB

Ta thấy: AB = AE + EF + FB = 3 AE hay AE = 1/3 AB (đpcm)

c, Do EI là đường trung bình của AFM (cmt)

=> FM = 2 EI (1)

Ta lại có:FM là đường trung bình của tam giác BEC

=> EC = 2 FM (2)

Từ (1) và (2), ta được: EC = 2.2. EI = 4EI (dpcm)

Xét ΔBEC có BD/BC=BF/BE

nen DF//EC và DF=1/2EC

Xét ΔAFD có

EH//FD

E là trung điểm của AF

Do đó: H là trung điểm của AD

-------- Chúc cậu học tốt --------

a) Vì AM là phân giác của góc BAC

nên góc BAM = CAM

Xét ΔBAM và ΔCAM có:

AB = AC ( giả thiết )

Góc BAM = CAM ( chứng minh trên )

AM cạnh chung.

=> Δ BAM = ΔCAM ( c.g.c )

=> BM = CM ( 2 cạnh tương ứng )

mà M nằm giữa B và C

Do đó M là trung điểm của BC → ĐPCM.

b) Ta có: AB + BE = AE

AC + CF = AF

mà AB = AC ( đề bài ); AE = AF (đề bài)

=> BE = CF.

Do ΔBAM = ΔCAM nên góc ABC = ACB ( 2 góc tương ứng )

Lại có: Góc ABC + CBE = 180 độ (kề bù)

Góc ACB + BCF = 180 độ (kề bù)

=> ABC + CBE = ACB + BCF

=> Góc CBE = BCF.

Xét ΔBCE và ΔCBF có:

BE = CF ( chứng minh trên)

Góc CBE = BCF ( chứng minh trên)

BC cạnh chung ( theo hình vẽ)

=> ΔBCE = ΔCBF ( c.g.c ) → ĐPCM.

c) Lại do ΔBCE = ΔCBF nên góc EBC = FCB ( 2 góc tương ứng ) hay góc EBM = FCM

Xét ΔMBE và ΔMCF có:

MB = MC ( chứng minh ở câu a )

Góc EBM = FCM ( chứng minh trên)

BE = FC ( chứng minh ở câu b)

=> ΔMBE = ΔMCF ( c.g.c )

=> ME = MF ( 2 cạnh tương ứng ) → ĐPCM.

d) Xét ΔEMN và ΔFMN có:

EM = FM ( chứng minh ở câu c )

EN = FN ( N là trung điểm EF )

MN chung.

=> ΔEMN = ΔFMN.

=> Góc ENM = FNM (2 góc tương ứng)

Suy ra MN là tia phân giác của góc ENF (1)

Có: góc BAM = CAM

Suy ra AM là tia phân giác của góc BAC (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, M, N nằm trên cùng 1 đường thẳng.

Do đó A, M, N thẳng hàng → ĐPCM.

đợi mình 5 phút

                                                                                  Giải

a) vì m la trung diểm của BC => BM=MC

Xét tam giac BAM va tam giac MAC có:

AB=AC(dề bài cho)

BM=MC(Chung minh tren)

AM la cạnh chung(de bai cho)

=>Tam giác BAM=tam giac MAC(c.c.c)

b)từ trên

=>góc BAM=góc MAC(hai goc tuong ung)

Tia AM nam giua goc BAC (1)

goc BAM=goc MAC(2)

từ (1) va (2)

=>AM la tia phan giac cua goc BAC

c)Còn nữa ......-->

B)vi goc BAM =90 độ

            MAC=90 độ

=>AM vuông góc voi BC

-Qua E,F kẻ các đường thẳng song song với BC cắt AM lần lượt tại P,Q.

-Xét △PIF có: PF//EQ (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{EQ}{PF}=\dfrac{IE}{IF}\) (hệ quả định lí Ta-let).

-Xét △ABM có: EQ//BM (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{EQ}{BM}=\dfrac{AE}{AB}\) (hệ quả định lí Ta-let). (1)

-Xét △ACM có: PF//CM (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{PF}{CM}=\dfrac{AF}{AC}\) (hệ quả định lí Ta-let). 

Mà \(BM=CM\) (M là trung điểm BC), \(AE=AF\) (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{PF}{BM}=\dfrac{AE}{AC}\) (2)

-Từ (1), (2) suy ra:

 \(\dfrac{\dfrac{EQ}{BM}}{\dfrac{PF}{BM}}\)=\(\dfrac{\dfrac{AE}{AB}}{\dfrac{AE}{AC}}\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{EQ}{PF}=\dfrac{AC}{AB}\) mà \(\dfrac{EQ}{PF}=\dfrac{IE}{IF}\left(cmt\right)\)

Nên \(\dfrac{IE}{IF}=\dfrac{AC}{AB}\)

a) Xét ΔAME và ΔCMB có 

MA=MC(gt)

\(\widehat{AME}=\widehat{CMB}\)(hai góc đối đỉnh)

ME=MB(gt)

Do đó: ΔAME=ΔCMB(c-g-c)

Suy ra: AE=CB(hai cạnh tương ứng)(1)

Xét ΔANF và ΔBNC có 

NA=NB(gt)

\(\widehat{ANF}=\widehat{BNC}\)(hai góc đối đỉnh)

NF=NC(gt)

Do đó: ΔANF=ΔBNC(c-g-c)

Suy ra: AF=BC(Hai cạnh tương ứng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE=AF(đpcm)

b) Ta có: ΔAME=ΔCMB(cmt)

nên \(\widehat{MAE}=\widehat{MCB}\)(hai góc tương ứng)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AE//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Ta có: ΔANF=ΔBNC(cmt)

nên \(\widehat{AFN}=\widehat{BCN}\)(hai góc tương ứng)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AF//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Ta có: AE//BC(cmt)

mà AF//BC(cmt)

và AE,AF có điểm chung là A

nên A,E,F thẳng hàng(đpcm)

c) Ta có: AE//BC(cmt)

nên EF//BC

Ta có: AE+AF=EF(A nằm giữa F và E)

nên EF=BC+BC=2BC(đpcm)

Giúp em với ạ

Có 

a) Ta có: AE+EB=AB

AF+FC=AC

mà AE=AF(gt)

và AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên EB=FC

Xét ΔEBC và ΔFCB có

EB=FC(cmt)

\(\widehat{EBC}=\widehat{FCB}\)(ΔABC cân tại A)

BC chung

Do đó: ΔEBC=ΔFCB(c-g-c)

Suy ra: EC=FB(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔDBC có \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\)(ΔEBC=ΔFCB)

nên ΔDBC cân tại D(Định nghĩa tam giác cân)