Có 1/a + 1/b + 1/c = 0

<=> 1/a = -1/b - 1/c = \(\frac{-b-c}{bc}\)

<=> a. - (b+c) = bc <=> - a. (b+c) = bc

<=> (b+c)^2 = bc               ( vì a+b+c=0 nên -a = b+c)

<=> b^2 + 2bc + c^2 = bc

<=> b^2 + bc + c^2 = 0

<=> (b+1/4c)^2 + c^2 = 0

<=> b+1/4c = 0 và c = 0 ( mâu thuẫn giả thiết)

=> ko tồn tại các số a.b.c khác 0 tm đk trên

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=abc\)

kết hợp gt: a+b+c=1

\(\Rightarrow abc-ab-ac-bc+a+b+c-1=0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\left(đpcm\right)\)

\(a,\dfrac{3}{a+b}=\dfrac{2}{b+c}=\dfrac{1}{c+a}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{b+c}{2}=\dfrac{c+a}{1}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{6}=\dfrac{a+b+c}{3}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{a+b+c}{3}\\ \Rightarrow3\left(a+b+c\right)=3\left(a+b\right)\\ \Rightarrow3\left(a+b\right)+3c=3\left(a+b\right)\\ \Rightarrow3c=0\\ \Rightarrow c=0\)

Vậy \(P=\dfrac{a+b-2019c}{a+b+2018c}=\dfrac{a+b}{a+b}=1\)

Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).Vậy điều giả sử trên là sai, 
a,b,c là 3 số dương.

Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).

Vậy điều giả sử trên là sai, 
Do đó a,b,c là 3 số dương.