CMR: \(\frac{b^{2016}}{c}+\frac{c^{2016}}{b}\ge b^{2015}+c^{2015}\).Giúp mình với, mình đang cần gấp
Giúp bài này vs các pro @@
Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. CMR
\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}...\)
Ko làm mất tính tổng quát, giả sử a >= b >= c.
Ta có: \(\frac{a^{2016}}{b+c-a}\) + \(\frac{b^{2016}}{c+a-b}\) + \(\frac{c^{2016}}{a+b-c}\)- ( a2015 + b2015 + c2015 ) \(\left(1\right)\)
= \(\left(\frac{a^{2016}}{b+c-a}-a^{2015}\right)\)+ \(\left(\frac{b^{2016}}{c+a-b}-b^{2015}\right)\)+ \(\left(\frac{c^{2016}}{a+b-c}-c^{2015}\right)\)
= \(\frac{2a^{2016}-a^{2015}\left(b+c\right)}{b+c-a}\)+ \(\frac{2b^{2016}-b^{2015}\left(a+c\right)}{c+a-b}\)+ \(\frac{2c^{2016}-c^{2015}\left(a+b\right)}{a+b-c}\)
= \(\frac{a^{2015}\left(2a-b-c\right)}{b+c-a}\)+ \(\frac{b^{2015}\left(2b-a-c\right)}{c+a-b}\)+ \(\frac{c^{2015}\left(2c-a-b\right)}{a+b-c}\)
- Theo bđt tam giác và điều giả sử, cm được biểu thức vừa thu được >= 0 và dấu = xra <=> a = b = c.
Do đó, (1) lớn hơn = 0 => ta có đpcm.
Vậy..........
- Tớ ko nghĩ bài làm của tớ đúng đâu. Nếu sai mong bạn thông cảm!
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. CMR
\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\)
C/m dạng tổng quát \(\frac{a^{n+1}}{b+c-a}+\frac{b^{n+1}}{c+a-b}+\frac{c^{n+1}}{a+b-c}\ge a^n+b^n+c^n\left(n\ge1\right)\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c>0\)
Suy ra \(\frac{a}{b+c-a}\ge\frac{b}{c+a-b}\ge\frac{c}{a+b-c}\)
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có:
\(Σ\frac{a^{n+1}}{b+c-a}=Σa^n\cdot\frac{a}{b+c-a}\ge\frac{1}{3}Σa^n\cdotΣ\frac{a}{b+c-a}\geΣa^n\)
Chứng minh rằng: Với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác thì :
\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{a+c-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\)
đề thi hà nội à
chuyển vế, nhóm
giả sứ \(a\ge b\ge c\)
=>.......
cộng lại
c/m bđt đúng là đc
So sánh A và B biết :
A = \(\frac{2015+2016}{2017+2018}\)
B = \(\frac{2015}{2016}+\frac{2017}{2018}\)
NHANH GIÙM MÌNH VỚI MÌNH ĐANG CẦN GẤP
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh:
\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\)
kết bạn với tớ nhé!!!!!!!!!!!!$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
bạn đã bt giải chưa chỉ mk vs đag cần gấp lém :))
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Chứng minh: \(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\)
Vì \(a,b,c\) lần lượt là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cho trước nên suy ra \(a,b,c>0\)
\(----------------\)
Áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho hai số dương, ta có:
\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\left(b+c-a\right)a^{2014}\ge2\sqrt{\frac{a^{2016}}{b+c-a}.\left(b+c-a\right)a^{2014}}=2a^{2015}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+a^{2014}b+ca^{2014}\ge3a^{2015}\) \(\left(1\right)\)
Theo đó, ta cũng thiết lập tương tự hai bất đẳng thức mới bắt đầu với các hoán vị \(b\rightarrow c\rightarrow a,\) thu được:
\(\frac{b^{2016}}{c+a-b}+b^{2014}c+ab^{2014}\ge3b^{2015}\) \(\left(2\right)\)
\(\frac{c^{2016}}{a+b-c}+c^{2014}a+bc^{2014}\ge3c^{2015}\) \(\left(3\right)\)
Cộng ba bất đẳng thức \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right),\) đồng thời chuyển vế, khi đó bđt mới có dạng:
\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge3\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\)
\(-\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]\) \(\left(\alpha\right)\)
\(----------------\)
Mặt khác, lại theo bđt \(AM-GM,\) ta có:
\(\Omega_1:\) \(2014a^{2015}+b^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(a^{2014}b\right)^{2015}}=2015a^{2014}b\)
\(\Omega_2:\) \(2014b^{2015}+a^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(b^{2014}a\right)^{2015}}=2015b^{2014}a\)
Cộng từng vế của hai bđt ở trên và rút gọn, khi đó:
\(a^{2015}+b^{2015}\ge a^{2014}b+b^{2014}a=ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)\) \(\left(1^'\right)\)
Tương tự ta thực hiện các dãy biến đổi như trên, nhận được:
\(b^{2015}+c^{2015}\ge bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)\) \(\left(2^'\right)\)
\(c^{2015}+a^{2015}\ge ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\) \(\left(3^'\right)\)
Từ \(\left(1^'\right);\left(2^'\right)\) và \(\left(3^'\right)\) suy ra \(2\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\ge\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]\) \(\left(\beta\right)\)
\(----------------\)
\(\left(\alpha\right);\beta\) \(\Rightarrow\) \(đpcm\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c,\) tức là tam giác khi đó phải là một tam giác đều!
So sánh: A=\(\frac{10^{2014}+2020}{10^{2015}+2020}\)và B=\(\frac{10^{2015}+2020}{10^{2016}+2020}\)
Mình đang cần gấp các bạn giúp mình nhé ^_^
Ta có:
\(10A=\frac{10^{2015}+20200}{10^{2015}+2020}=1+\frac{18180}{10^{2015}+2020}\)
\(10B=\frac{10^{2016}+20200}{10^{2016}+2020}=1+\frac{18180}{10^{2016}+2020}\)
Vì \(10^{2016}+2020>2^{2015}+2020\)
=> \(\frac{18180}{10^{2016}+2020}< \frac{18180}{10^{2015}+2020}\)
=> \(1+\frac{18180}{10^{2016}+2020}< 1+\frac{18180}{10^{2015}+2020}\)
=> 10B < 10A
=> B<A
\(A=\frac{10^{2014}+2020}{10^{2015}+2020}\)\(< \) \(B=\frac{10^{2015}+2020}{10^{2016}+2020}\)
chúc bạn học tốt
study well
Bài của cô bị lỗi ở dòng dưới nó không hiện thị
Em thêm cho cô nhé Bảo Thi
10B < 10A
=> B < A
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
CMR \(\frac{\sqrt{a^{2016}}}{b+c-a}\)+ \(\frac{\sqrt{b^{2016}}}{c+a-b}\)+ \(\frac{\sqrt{c^{2016}}}{a+b-c}\)\(\ge\)\(a^{2015}\)+\(b^{2015}\)+ \(c^{2015}\)
Đề đúng không thế \(\sqrt{a^{2016}}\) thì viết luôn là \(a^{1008}\)cho rồi
Fix: \(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\)
WLOG \(a\ge b\ge c\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}\ge\frac{b}{c+a-b}\ge\frac{c}{a+b-c}\)
Thật vậy \(\frac{a}{b+c-a}-\frac{b}{c+a-b}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)}{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}\ge0\left(\text{đúng vì}\hept{\begin{cases}a\ge b\\\text{a,b,c là 3 cạnh tam giác}\end{cases}}\right)\)
Tương tự cho các BĐT còn lại sau đó áp dụng BĐT Chebyshev:
\(VT=\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\)
\(=a^{2015}\cdot\frac{a}{b+c-a}+b^{2015}\cdot\frac{b}{c+a-b}+c^{2015}\cdot\frac{c}{a+b-c}\)
\(\ge\frac{1}{3}\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\left(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\right)\)
Mà ta đã biết \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\) (Easy to prove)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{3}\cdot3\cdot\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)=a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=VP\)
so sánh:
\(A=\frac{2015^{2015}+1}{2015^{2016}+1}\)và \(B=\frac{2015^{2016}-2}{2015^{2017}-2}\)
GIÚP MÌNH VỚI! HÔM NAY CẦN PẢI HOÀN THÀNH Ạ
Ta có 20152015 : 20152015
Ta so sánh 20152016+1 và 20152011+1
Vì 20152015 > 20152011
20152016+1 > 20152011 +1
2 phân số có cùng tử số, mẫu của phân số nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn
20152015 + 1 < 20152015 + 1
20152016 + 1 20152017 + 1
ko biết mình là đúng không