tìm 4 số tự nhiên a1<a2<a3<a4 sao cho tất cả các số d1=a1-a3,d2=a3-a2,d3=a2-a1,d4=a4-a2,d5=a3-a1,d6=a4-a1 đều là số nguyên tố trong đó có thể có các số nguyên tố bằng nhau
B1:1 số tự nhiên A thỏa mãn A chia 25 dư \13 và A chia 4 dư 2 . Tìm 2 chữ số tận cùng của a
B2:cho n số nguyên lẻ a1,a2,...an (n>2007) thỏa mãn a1^2+...+a2005^2=a2006^2+...+an^2 tìm giá trị nhỏ nhất của n và chỉ ra 1 bộ sô a1,a1,...an thỏa mãn tìm được
Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 2015 viết được dưới dạng:
2015 = a1 + a2 +....+an với các số a1,a2,...,an đều là hợp số
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để tồn tại dãy số nguyên a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,...,a thỏa mãn a1+a2+a3+...+an=2017=a1*a2*a3*...*an
1) Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn 42019 +3n có chữ số tận cùng là 7
2) Tìm các bộ số tự nhiên (a1,a2,a3,...,a2019) thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}a1+a2+a3+...+a2019\ge2019^2\\a1^2+a2^2+a3^2+...+a2019^2\le2019^3+1\end{cases}}\)
bài 2
Cộng 2 vế của -4038.(1) + (2) ta được
\(a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038\left(a_1+a_2+...+a_{2019}\right)\le2019^3+1-4028.2019^2\)
\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}\)
\(\le2019^3+1-2019.2019^2-2019.2019^2\)
\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}+2019.2019^2\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(a_1^2-4038a_1+2019^2\right)+...+\left(a_{2019}^2-4038a_{2019}+2019^2\right)\le1\)
\(\Leftrightarrow A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\le1\)
Do \(a_1;a_2;...;a_{2019}\in N\)nên \(A\in N\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}A=0\\A=1\end{cases}}\)
*Nếu A = 0
Dễ thấy \(A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\ge0\forall a_1;a_2;...;a_{2019}\)
Nên dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a_1=a_2=a_3=...=a_{2019}=2019\)
*Nếu A = 1
\(\Leftrightarrow\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)(*)
Từ đó dễ dàng nhận ra trong 2019 số \(\left(a_1-2019\right)^2;\left(a_2-2019\right)^2;...;\left(a_{2019}-2019\right)^2\)phải tồn tại 2018 số bằng 0
Hay nói cách khác trong 2019 số \(a_1;a_2;a_3;...;a_{2019}\)phải tồn tại 2018 số có giá trị bằng 2019
Giả sử \(a_1=a_2=...=a_{2018}=2019\)
Khi đó (*)\(\Leftrightarrow\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a_{2019}=2020\\a_{2019}=2018\end{cases}}\)
Thử lại...(tự thử nhé)
Vậy...
Bài 1 : Vì \(4^{2019}\)có cơ số là 4 , số mũ 2019 là lẻ nên có tận cùng là 4
Để \(4^{2019}+3^n\)có tận cùng là 7 thì \(3^n\)có tận cùng là 3
Mà n là số tự nhiên nên n = 1
2. Chứng minh : Với n là số tự nhiên:
Ta chứng minh: \( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\geq \dfrac{(a_1+2_2+a_3+...+a_n)^2}{n}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_n\)
\(\text{Chứng minh quy nạp}\):
+) Với n=1, n=2 thỏa mãn
+)Giả sử đúng với n=k \( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_k^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2}{k}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_k\)
+) Ta chứng minh đúng vs : \(n=k+1\)
Thật vậy: \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{k+1}^2=(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_k^2)+a_{k+1}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2}{k}+a_{k+1}^2\)
Mặt khác ta có: \(\dfrac {A^2}{k}+a_{k+1}^2\geq \dfrac {(A+a_{k+1})^2}{k+1} \)
\(\Leftrightarrow \left(k+1\right)A^2+k\left(k+1\right)a^2_{k+1}=k\left(A^2+2Aa_{k+1}+a^2_{k+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow A^2+k^2a^2_{k+1}-2kAa_{k+1}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (A-ka_{k+1})^2\geq 0\) ( luôn đúng)
Do đó: \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{k+1}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2}{k}+a_{k+1}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_{k+1})^2}{k+1}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_{k+1}\)
Vậy: \( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\geq \dfrac{(a_1+2_2+a_3+...+a_n)^2}{n}\)với mọi n là số tự nhiên
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=...=a_n\)
\(\text {Quay lại bài Toán của chúng ta}\):
Vậy \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{2019}^2\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_{2019})^2}{2019}\geq \dfrac {2019^4}{2019}\)
=> \(2019^3+1\geq \dfrac{(a_1+a_2+a_3+...+a_{2019})^2}{2019}\geq \dfrac {2019^4}{2019}\)
Hay \(2019^4\leq (a_1+a_2+a_3+...+a_{2019})^2\leq 2019^4+2019<(2019^2+1)^2\)
Suy ra \(a_1+a_2+a_3+...+a_n=2019^2\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a_1=a_2=a_3=...=a_n=2019\)
cho n số nguyên bất kỳ a1,a2,a3,...,an (n thuộc N n_>2) chứng tỏ nếu n là số tự nhiên chia 4 dư 1 thì tổng A =|a1-a2+1| + |a2-a3+2| + |a3-a4+3|+...+|an-1 - an +n-1| + |an-a1+n| là số tự nhiên lẻ
Tìm các số tự nhiên khác nhau a1,a2,a3,a4,a5...sao cho
1/a1^2 +1/a2^2+...+1/a44^2 =1
giúp mình pls
Cho 100 số tự nhiên a 1;a2;a3;...;a100 thỏa mãn : 1/a1+1/a2+...+1/a100=101/2. CMR ít nhất hai trong 100 số tự nhiên trên bằng nhau
ai nhanh minh se cho 4 tick nha !!!
Giả sử trong 100 số đó không có số nào bằng nhau a1 > a2>a3>.....a100
Mà a1,a2,a3,...,a100 thuộc Z
\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=\frac{101}{2}\)(vôlý)
Vậy có ít nhất 2 số bằng nhau trong dãy số trên
cho 7 số tự nhiên bất kì a1;a2;a3;...;a7.chứng minh rằng luôn chọn được 4 số từ những số trên để tổng của chúng chia hết cho 4
Tìm số nguyên có chín chữ số A = a1a2a3b1b2b3a1a2a3, trong đó a1 = 0 và b1b2b3 = 2a1a2a3 đồng thời A có thể viết được Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n + 15 là số chính phương.