gọi a là số chữ số của n.

dễ thấy S(n)>0 => n>2012 => a ≥ 4

với n=2013 thấy thỏa mãn.

với n>2013 ta có: S(n)=n(n-2014)+n+6 ≥ n+6 > n > \(10^a\) > 9a (với a ≥ 4)

\(\frac{2013n^2+3}{8}\inℤ\Leftrightarrow2013n^2+3⋮8\Leftrightarrow8.251.n^2+5n^2+3⋮8\)

Vì \(8.251.n^2⋮8\) nên  \(5n^2+3⋮8\Leftrightarrow5n^2+3-8⋮8\Leftrightarrow5\left(n^2-1\right)⋮8\)

Vì 5 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên \(n^2-1⋮8\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮8\)

Vì các số nguyên tố lớn hơn 2 đều lẻ nên sẽ có dạng (4k+1) hoặc (4k+3), k là số tự nhiên

\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\orbr{\begin{cases}\left[\left(4k+1\right)-1\right]\left[\left(4k+1\right)+1\right]=4k\left(4k+2\right)⋮8\\\left[\left(4k+3\right)-1\right]\left[\left(4k+3\right)+1\right]=\left(4k+2\right)\left(4k+4\right)⋮8\end{cases}}\)

(Vì (4k+2) là số chẵn và (4k), (4k+4) đều chia hết cho 4 nên tích của chúng chia hết cho 8)                     ---->đpcm

1/

\(n^3+2013n^2+2n=n^3+3n^2+2n+2010n^2=n\left(n^2+3n+2\right)+2010n^2\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2\)

Do \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

Lại có \(2010⋮6\Rightarrow2010n^2⋮6\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2⋮6\) (đpcm)

2/ Giả sử A là số chính phương, đặt \(A=k^2\) với \(k\in N\)

\(\Rightarrow n^2+10n+136=k^2\Leftrightarrow\left(n+5\right)^2+111=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+5\right)^2-k^2=-111\Leftrightarrow\left(n+k+5\right)\left(n-k+5\right)=-111\)

Do \(n+k+5\ge5\) nên ta có các trường hợp sau:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}n+k+5=37\\n-k+5=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=12\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}n+k+5=111\\n-k+5=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=50\)

Vậy \(n=\left\{12;50\right\}\)

1.

Ta có \(n^3+2013n^2+2n=n^3+3n^2+2n+2010n^2=n^3+n^2+2n^2+2n+2010n^2=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)+2010n^2=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)+2010n^2=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2\)

Ta lại có \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là 3 số nguyên liên tiếp\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\left(1\right)\)

Mà \(2010⋮6\Leftrightarrow2010n^2⋮6\left(2\right)\)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2⋮6\) hay \(n^3+2013n^2+2n⋮6\)

2.

Đặt \(n^2+10n+136=k^2\left(k\in N\right)\Leftrightarrow n^2+2.n.5+25+111=k^2\Leftrightarrow\left(n+5\right)^2+111=k^2\Leftrightarrow111=k^2-\left(n+5\right)^2\Leftrightarrow\left(k+n+5\right)\left(k-n-5\right)=111\)(*)

Vì 111 là số nguyên tố và k+n+5>k-n-5

Vậy (*)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}k+n+5=111\\k-n-5=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}k+n=106\\k-n=6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}k=56\\n=50\end{matrix}\right.\)

Vậy n=50 thì n²+10n+136 là số chính phương

Giả sử khi biểu diễn số tự nhiên n dưới dạng số thập phân,ta được:

\(n=a_m\cdot10^m+a_{m-1}\cdot10^{m-1}+....+a_1\cdot10+a_0\)với \(a_i\)là các chữ số,\(i=0,1,2,3,....,m\)và \(m\inℕ\)

\(\Rightarrow n\ge a_m+a_{m-1}+....+a_0\)

\(\Rightarrow n\ge S\left(n\right)\)

\(\Rightarrow n\ge n^2-2013n+6n\)

\(\Rightarrow n^2+6\le2014n\)

\(\Rightarrow n+\frac{6}{n}\le2014\)

\(\Rightarrow n< 2014\left(1\right)\)

Mà \(S\left(n\right)\ge0\)

\(\Rightarrow n^2-2013n+6\ge0\)

\(\Rightarrow n^2+6\ge2013n\)

\(\Rightarrow n+\frac{6}{n}\ge2013\)

\(\Rightarrow n\ge2013\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra n=2013

Thay vào bài toán,ta được:

\(S_{2013}=2013^2-2013\cdot2013+6\left(TM\right)\)

Vậy số tự nhiên n cần tìm là 2013

gọi a là số chữ số của n.

dễ thấy S(n)>0 => n>2012 => a ≥ 4

với n=2013 thấy thỏa mãn.

với n>2013 ta có: S(n)=n(n-2014)+n+6 ≥ n+6 > n > $10^a$10a 10^a> 9a (với a ≥ 4)

2)

a) 2n+5 chia het cho n-1 

=> 2(n-1) +7 chia het cho n-1 

=: n-1 thuoc uoc cua 7 den day ke bang la xong. 

may cau con lai lam tuong tu

dài quá ko mún làm

(1) Tìm x thuộc N biết 18 chia hết cho x khi x-2

                    Để 18 chia hết cho x khi x-2

                           => 18 chia hết cho x-2

                           => x-2 thuộc Ư(18) = {1;2;3;6;9;18}

Ta có bảng:

Vậy x thuộc {3;4;5;8;11;20}

(2) Tìm x thuộc N biết x-1 chia hết cho 13

Để x-1 chia hết cho 13 => x-1 thuộc B(13) = {0;13;26;49;...}

                                       => x thuộc {1;14;27;30;...}

(3) Tìm x thuộc N biết x+10 chia hết cho x-2

Để x+10 chia hết cho x-2

=> (x-2)+12 chia hết cho x-2 

Mà x-2 chia hết cho x-2

=> x-2 thuộc Ư(12) = {1;2;3;4;6;12}

Ta có bảng:

Vậy x thuộc {3;4;5;6;8;14}