Ta sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương như sau : 

Ta có ; \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được cm.

MK CHỊU !

a=b+c => a-b-c=0 mà số đã bằng 0 rồi thì sao chia cả 2 vế cho 0 được nên sai 

cái vụ mà: a(a - b) = (a-b)(a+b) hình như hơi sai sai:)))

a)a²+b²+c²+3=2(a+b+c)

=>a²+b²+c²+1+1+1-2a-2b-2c=0

=>(a²-2a+1)+(b²-2b+1)+(c²-2c+1)=0

=>(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²=0

=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1 

-->Đpcm

b)(a+b+c)²=3(ab+ac+bc)

=>a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0 

=>a²+b²+c²-ab-ac-bc=0

=>2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0 

=>(a²- 2ab+b²)+(b²-2bc+c²) + (c²-2ca+a²) = 0

=>(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0 

Hay (a-b)²=0 hoặc (b-c)²=0 hoặc (a-c)²=0

=>a-b hoặc b=c hoặc a=c

=>a=b=c 

-->Đpcm

c)a²+b²+c²=ab+bc+ca

=>2(a²+b²+c²)=2(ab+bc+ca)

=>2a²+2b²+c²=2ab+2bc+2ca

=>2a²+2b²+c²-2ab-2bc-2ca=0

=>a²+a²+b²+b²+c²+c²-2ab-2bc-2ca=0

=>(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ca+c²)=0

=>(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0

Hay (a-b)²=0 hoặc (b-c)²=0 hoặc (a-c)²=0

=>a-b hoặc b=c hoặc a=c

=>a=b=c 

-->Đpcm

a) Ta có : \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

Vì \(\left(a-1\right)^2\ge0,\left(b-1\right)^2\ge0,\left(c-1\right)^2\ge0\) nên pt trên tương đương với \(\begin{cases}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\) (1)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0,\left(b-c\right)^2\ge0,\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\) \(\Rightarrow a=b=c\)

c) Giải tương tự câu b) , bắt đầu từ (1)

nhân 2 vào 2 vế rồi chuyển vế sau đó khai triển ta được (a-b)(b-c)(c-a) >=0

luôn đúng với mọi a;b;c

suy ra ĐPCM

ta có     \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow\)\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow\)\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(\(\Rightarrow\)a=b=c)

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có....

.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có.

a: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{19}\left(cm\right)\)

Lại copy!!!

Giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopski

Xét cặp số \(\left(1,1,1\right)\) và \(\left(a,b,c\right)\) ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(1.a+1.b+1.c\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\) (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Chúng ta có thể dễ dàng bất đức thức này bằng vài bước suy luận cơ bản như sau:

Điều này luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

Cộng cả hai vế của bất phương trình ta được \(a^2+b^2\ge2ab\) (1)

Tương tự ta có: