hãy sữ dụng d.lí bất đẳng thức tam giác

\(A=\frac{a^3}{b+c-a}+\frac{b^3}{c+a-b}+\frac{c^3}{a+b-c}=\frac{a^4}{ab+ac-a^2}+\frac{b^4}{ba+bc-b^2}+\frac{c^4}{ca+cb-c^2}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}=a^2+b^2+c^2\)

thanks

♥♥♥

Câu 2)

Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}\)

Ta có \(a+b=1\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)b+a+1}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{3}{ab+b+a+1}\ge\frac{4}{3}\)

Ta có \(a+b=1\)

\(\Rightarrow\frac{3}{ab+2}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow9\ge4\left(ab+2\right)\)

\(\Rightarrow9\ge4ab+8\)

\(\Rightarrow1\ge4ab\)

Do \(a+b=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (đpcm )

Câu 3)

Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

Mà \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)

\(\Rightarrow a+b+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) (điều này luôn luôn đúng)

\(\Rightarrow\) ĐPCM

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức :

\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)

Bất đẳng thức được chứng minh 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng cộng mẫu:

\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Do \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh tam giác , \(a,b,c>0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c-a>0\\c+a-b>0\\a+b-c>0\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho hai số dương ta có :

\(\frac{a^2}{b+c-a}+b+c-a\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c-a}.\left(b+c-a\right)}=2a\)

\(\frac{b^2}{c+a-b}+c+a-b\ge2\sqrt{\frac{b^2}{c+a-b}.\left(c+a-b\right)}=2b\)

\(\frac{c^2}{a+b-c}+a+b-c\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b-c}.\left(a+b-c\right)}=2c\)

Cộng vế với vế của các BĐT cùng chiều ở trên ta có :

\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}+a+b+c\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\).

Vậy BĐT được chứng minh !

do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên a,b,c > 0 ; p -a,p-b,p-c > 0

Áp dung BĐT : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Ta có : \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)

Tương tự : \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a}\)

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{2p-c-a}=\frac{4}{b}\)

Cộng từng vế 3 BĐT trên,ta được : 

\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Câu 1: a)

b) Áp dụng Bđt Holder ta có:

\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)(đpcm)

Dấu = khi a=b=c

Câu 2:

Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:

\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)(Đpcm)

Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Câu 3:

Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\left(a+b+c=1\right)\)(Đpcm)

Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Câu 4: nghĩ sau

1, Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta được

\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b\)

\(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{ab}{c}}=2a\)

\(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{bc}{a}}=2c\)
Cộng từng vế vào ta được 

\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Dấu "=" khi a = b = c

2,Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên a,b,c > 0 

Ta có các bđt quen thuộc sau : \(\frac{m}{n}>\frac{m}{m+n}\)và \(\frac{m}{n}< \frac{m+m}{m+n}\)

\(\Rightarrow\frac{m}{m+n}< \frac{m}{n}< \frac{m+m}{m+n}\). Áp dụng bđt này ta được 

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{a+b+c}< \frac{b+b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}\)

Cộng 3 bđt trên lại ta được đpcm