1/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P(x) = -x2+13x+2012
2/ Cho x+y=1. Tính : x3+3xy+y3
3/ Cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=1. Tính a4+b4+c4.
Tính giá trị của biểu thức :a4+b4+c4 biết rằng a+b+c=0 và:
a,a2+b2+c2=2 ; b,a2+b2+c2=1
mik cần gấp!!!
Ta có a+b+c=0⇔(a+b+c)2=0⇔a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0a+b+c=0⇔(a+b+c)2=0⇔a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0
+) Nếu a2+b2+c2=2a2+b2+c2=2 thì ab+bc+ac=−22=−1⇔(ab+bc+ac)2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=1ab+bc+ac=−22=−1⇔(ab+bc+ac)2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=1
⇔a2b2+b2c2+c2a2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2=1
Ta có : (a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4
⇔a4+b4+c2+2=4⇔a4+b4+c4=2⇔a4+b4+c2+2=4⇔a4+b4+c4=2
+ Nếu a2+b2+c2=1a2+b2+c2=1 làm tương tự
Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 =10. Tính a4 + b4 + c4
\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=-5\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=25\)
\(\Rightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)=25\)
\(\Rightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2=25\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2\right]\)
\(=10^2-2.25=50\)
Ta có: a+b+c=0 ⇒(a+b+c)2=0
Hay a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0
1+2(ac+bc+ca)=0
ab+bc+ca=\(\dfrac{-1}{2}\)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=100\left(1\right)\)
\(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+b^2ac+c^2ab+a^bc=a^2b^2+b^2c^2+c^2+a^2+2abc\left(a+b+c\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=25\)
hay \(2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=50\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ⇒a4+b4+c4=50
a)Tìm x,y,z biết :
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=6\\x^3+y^3+z^3=6\end{matrix}\right.\)
b)Tìm các số nguyên x,y t/m:
2x2+\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\) sao cho tích x.y có GTLN
c)Cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=14. Tính GT của bt M=a4+b4+c4
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Tìm GTNN của
a) M= a2/a+1 + b2/b+1 + c2/b+1
b) N= 1/a + 4/b+1 + 9/c+2
c) P= a2/a+b + b2/b+c + c2/c+a
d)Q= a4 + b4 + c4 + a2 + b2 + c2 +2020
a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:
\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
c) \(P=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2.3}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
cho 3 số a,b,c thỏa mãn : a+b+c=0 ; a2+b2+c2=2009. tính A= a4+b4+c4
Ta có: a + b + c = 0
\(\Rightarrow\) (a + b + c)2 = 0
\(\Leftrightarrow\) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 0
\(\Leftrightarrow\) 2009 + 2(ab + bc + ac) = 0
\(\Leftrightarrow\) ab + bc + ac = \(\dfrac{-2009}{2}\)
\(\Leftrightarrow\) (ab + bc + ac)2 = \(\left(\dfrac{-2009}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2abc(a + b + c) = \(\left(\dfrac{-2009}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) a2b2 + b2c2 + c2a2 = \(\left(\dfrac{-2009}{2}\right)^2\) (Vì a + b + c = 0)
Lại có: a2 + b2 + c2 = 2009
\(\Rightarrow\) (a2 + b2 + c2)2 = 20092
\(\Leftrightarrow\) a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 20092
\(\Leftrightarrow\) a4 + b4 + c4 + 2.\(\dfrac{2009^2}{4}\) = 20092
\(\Leftrightarrow\) a4 + b4 + c4 = 20092 - \(\dfrac{2009^2}{2}\) = 2018040,5
Chúc bn học tốt!
1. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
2. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
3. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
4. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: a b a b
5. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
6. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
7. Tìm các giá trị của x sao cho:
a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
8. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
9. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của avà b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
10. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
11. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
bài 5 nhé:
a) (a+1)2>=4a
<=>a2+2a+1>=4a
<=>a2-2a+1.>=0
<=>(a-1)2>=0 (luôn đúng)
vậy......
b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:
a+1>=\(2\sqrt{a}\)
tương tự ta có:
b+1>=\(2\sqrt{b}\)
c+1>=\(2\sqrt{c}\)
nhân vế với vế ta có:
(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)
<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)
<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)
vậy....
bạn nên viết ra từng câu
Chứ để như thế này khó nhìn lắm
bạn hỏi từ từ thôi
cho a + b + c = 0. Chứng minh đẳng thức:
a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2); b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;
a4 + b4 + c4 =(a2+b2+c2)2 /2
cho -1 ≤ a,b,c ≤ 1 va 1 + 2abc ≥ a2 + b2 +c2. cmr: 1 + 2a2b2c2 ≥ a4 + b4 + c4
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng phía so với 0, không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b
\(\Rightarrow ab\ge0\)
Mặt khác do \(c\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-c^2\ge0\\1-c\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2ab\left(1-c\right)+1-c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2ab+1\ge2abc+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+2ab+1\ge a^2b^2+2abc+c^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+c\right)^2\le\left(1+ab\right)^2\le\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\) (1)
Từ giả thiết:
\(a^2+b^2+c^2\le1+2abc\Leftrightarrow a^2b^2-2abc+c^2\le1-a^2-b^2+a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-c\right)^2\le\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\) (2)
Nhân vế với vế (1) và (2):
\(\left(ab+c\right)^2\left(ab-c\right)^2\le\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+2a^2b^2c^2\ge a^4+b^4+c^4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi 1 số bằng 1 và 2 số bằng nhau
cho hình vẽ biết c//d và b 1 = 85 độ c4 = 105 độ tính các góc a1,a2,a3,a4,b2,b3,b4,c1,c2,c3,d1,d2,d3,d4
4. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a. A = 5 – 8x – x2 b. B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y 5. a. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca chứng minh rằng a = b = c b. Tìm a, b, c biết a2 – 2a + b2 + 4b + 4c2 – 4c + 6 = 0 6. Chứng minh rằng: a. x2 + xy + y2 + 1 > 0 với mọi x, y b. x2 + 4y2 + z2 – 2x – 6z + 8y + 15 > 0 Với mọi x, y, z 7. Chứng minh rằng: x2 + 5y2 + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0 với mọi x, y.