ta có \(3x=1-\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\)

<=> \(1-3x=\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\)

<=> \(\left(1-3x\right)^3=\left(\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\right)^3\)

<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=\frac{25+\sqrt{621}}{2}+\frac{25-\sqrt{621}}{2}+3\left(\frac{25+\sqrt{621}}{2}\cdot\frac{25-\sqrt{621}}{2}\right)\left(1-3x\right)\)( vì  \(\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}=1-3x\)....phía trên 2 dòng )

<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=25+3\cdot1\cdot\left(1-3x\right)\)

<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=25+3-9x\)

<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=28-9x\)

<=> \(27x^3-27x^2+27=0\)

<=.\(27\left(x^3-x^2+1\right)=0\)

<=. \(x^3-x^2+1=0\)

pt \(x^3-x^2+1=0\) và pt \(x^5+x+1=0\) đều có nghiệm chung 

vậy đccm

Bài của phan tuấn anh nên bổ sung

\(x^5+x+1=\left(x^3-x^2+1\right)\left(x^2+x+1\right)=\left(x^3-x^2+1\right)\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\)

mk cũng định thêm chỗ đó rùi nhưng vội quá nên kết luận luôn

Lời giải:

Đặt \(\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}=m\)

Khi đó \(a=\frac{1}{m}+m\Rightarrow a^3-3a=\frac{1}{m^3}+\frac{3}{m}+3m+m^3-3(\frac{1}{m}+m)\)

\(=\frac{1}{m^3}+m^3=\frac{1}{4-\sqrt{15}}+4-\sqrt{15}=4+\sqrt{15}+4-\sqrt{15}=8(*)\)

Đặt \(\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}=n; \sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}=p\)

\(\Rightarrow n^3+p^3=25; np=\sqrt[3]{\frac{25^2-621}{4}}=1\)

\(\Rightarrow (n+p)^3=n^3+p^3+3np(n+p)=25+3(n+p)\)

Do đó:

\(b^3-b^2=\frac{1}{27}(1-n-p)^3-\frac{1}{9}(1-n-p)^2\)

\(=\frac{1}{27}[1-3(n+p)+3(n+p)^2-(n+p)^3]-\frac{1}{9}[1-2(n+p)+(n+p)^2]\)

\(=\frac{-2}{27}+\frac{n+p}{9}-\frac{(n+p)^3}{27}\)

\(=\frac{-2}{27}+\frac{n+p}{9}-\frac{25+3(n+p)}{27}=-1(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow a^3+b^3-b^2-3a+100=8+(-1)+100=107\)

@Akai Haruma @Lightning Farron soyeon_Tiểubàng giải Nguyễn Huy Tú

a.\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{n+1-n}=2\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\)

áp dụng công thức cho biểu thức A có A>\(2\left(-\sqrt{2}+\sqrt{26}\right)>7\left(1\right)\)

(so sánh bình phương 2 số sẽ ra nha)

\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-n+1}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

áp dụng công thức cho biểu thức A ta CM được

A<\(2\left(\sqrt{2}-\sqrt{2-1}+\sqrt{3}-\sqrt{3-1}+...+\sqrt{25}-\sqrt{25-1}\right)\)

=\(2\left(-\sqrt{1}+\sqrt{25}\right)=2\left(-1+5\right)=2\cdot4=8\left(2\right)\)

từ (1) và (2) => ĐPCM

b. tương tự câu a ta CM đc BT đã cho=B>\(2\sqrt{51}-2\)> \(5\sqrt{2}\left(1\right)\)

và B<\(2\sqrt{50}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2\cdot50}=10\sqrt{2}\left(2\right)\)

từ (1) và (2)=>ĐPCM

(bạn nhớ phải biến đổi 1 thành 1/\(\sqrt{1}\) trc khi áp dụng công thức nha)

MỜI BẠN THAM KHẢO

\(1,\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\in Z\Rightarrow\frac{4}{\sqrt{x}-3}\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-3\in\left(1;4;-1;-4\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left(4;7;2;-1\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=4\Leftrightarrow x=2\)

\(4,A=x+\sqrt{x}+1\)

\(A=\left(\sqrt{x}\right)^2+2.\frac{1}{2}.\sqrt{x}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

\(A=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{4}.\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi :

\(\sqrt{x}+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow\sqrt{x}=-\frac{1}{2}\)

Vậy Min A = 3/4 khi căn x = -1/2