a: góc OMP=góc ONP=90 độ

=>OMNP nội tiếp

b: MP//OC(cùng vuông góc AB)

=>góc MCO=góc NMP

góc NMP=góc MNO

=>góc MNO=góc MCO

=>góc MNO=góc ODN

=>CM//OP

Xét tứ giác CMPO có

CM//PO

CO//PM

=>CMPO là hình bình hành

c: Xét ΔCOM vuông tại O và ΔCND vuông tại N có

góc OCM chung

=>ΔCOM đồng dạng với ΔCND

=>CO/CN=CM/CD

=>CN*CM=CO*CD=2R^2 ko phụ thuộc vào vị trí của M

1. Ta có ÐOMP = 90⁰ ( vì PM ^ AB ); ÐONP = 90⁰ (vì NP là tiếp tuyến ).

Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 90⁰ => M và N cùng nằm trên đường tròn  đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.

2. Tứ giác OMNP nội tiếp => ÐOPM = Ð ONM (nội tiếp chắn cung OM)

 Tam giác  ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ÐONC = ÐOCN

=>  ÐOPM = ÐOCM.

Xét hai tam giác  OMC và MOP ta có ÐMOC = ÐOMP = 90⁰; ÐOPM = ÐOCM => ÐCMO = ÐPOM lại có MO là cạnh chung => DOMC = DMOP => OC = MP. (1)

Theo giả thiết Ta có CD ^ AB; PM ^ AB => CO//PM (2).

Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.

3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ÐMOC = 90⁰ ( gt CD ^ AB); ÐDNC = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐMOC =ÐDNC = 90⁰ lại có ÐC là góc chung => DOMC ~DNDC

=>  => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R² không đổi => CM.CN =2R²không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

.

Vẽ hình ra nhé Nguyễn Thu Hà

Vì NP là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow PM\perp ON\Rightarrow\widehat{ONP}=90^0\)

Mà \(\widehat{OMP}=90^0\Rightarrow\widehat{OMP}=\widehat{ONP}\)

\(\Rightarrow\) ◊OMNP nội tiếp(1)

\(\Rightarrow O,M,N,P\) cùng thuộc một đường tròn

Do CD là đường kính của (O) \(\Rightarrow DN\perp CN\Rightarrow\widehat{COM}=\widehat{CND}=90^0\)

\(\Rightarrow\text{◊ }\)OMND nội tiếp 

\(\Rightarrow O,M,N,D\)cùng thuộc một đường tròn (2)

\(\Rightarrow\widehat{MPD}=180^0-\widehat{DOM}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow MP\perp DP\Rightarrow OD//MP\)

\(\Rightarrow OMPD\) là hình bình hành 

\(\Rightarrow OD=MP\Rightarrow MP=R\)