VT=2a²b²+2a²c²+2b²c²-a⁴-b⁴-c⁴

=a²b²+a²c²+b²c²+a².(b²-a²)+b².(c²-b²)+c².(a²-c²)

=a²b²+a²c²+b²c²+a².(b+a)(b-a)+b².(c+b)(c-b)+c².(a+c)(a-c)

Ta lại có : a+b>c=>a-c>-b

                 b+c>a=>b-a>-c

                 c+a>b=>c-b>-a

(BĐT tam giác)

=>VT>a²b²+a²c²+b²c²+a².c.(-c)+b².a.(-a)+c².b.(-b)

=0

=>VT>0 =>dpcm

1.

\(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4>0\\ \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)< 0\\ \Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]< 0\\ \Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\left(1\right)\)

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tg nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b\\a-b< c\\a+b>c\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b+c>0\\a-b-c< 0\\a+b-c>0\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\)

Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng (do 3 dương nhân 1 âm ra âm)

Từ đó ta được đpcm

2.

\(a,Sửa:a^6+a^4+a^2b^2+b^4-b^6\\ =\left(a^6-b^6\right)+\left(a^4+b^4+a^2b^2\right)\\ =\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)+\left(a^4+b^4+a^2b^2\right)\\ =\left(a^2-b^2+1\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\\ =\left[\left(a^2+b^2\right)^2-a^2b^2\right]\left(a^2-b^2+1\right)\\ =\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-b^2+1\right)\\ b,=\left(a^3+b^3\right)-1+3ab\\ =\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-1+3ab\\ =\left(a+b-1\right)\left(a^2+2ab+b^2+a+b+1\right)-3ab\left(a+b-1\right)\\ =\left(a+b-1\right)\left(a^2+b^2+1+a+b-ab\right)\)

\(c,=a^2b^2\left(b-a\right)+b^2c^2\left(c-a+a-b\right)-c^2a^2\left(c-a\right)\\ =-a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(c-a\right)-c^2a^2\left(c-a\right)\\ =\left(a-b\right)\left(b^2c^2-a^2b^2\right)+\left(c-a\right)\left(b^2c^2-c^2a^2\right)\\ =b^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c+a\right)+c^2\left(c-a\right)\left(b-a\right)\left(b+a\right)\\ =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left[b^2\left(c+a\right)-c^2\left(b+a\right)\right]\\ =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b^2c+ab^2-bc^2-ac^2\right)\\ =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left[bc\left(b-c\right)+a\left(b-c\right)\left(b+c\right)\right]\\ =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(bc+ab+ac\right)\)

Xét \(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)-2c^2\left(a^2-b^2\right)+c^4-4c^2b^2\)

=\(\left(a^2-b^2\right)^2-2\left(a^2-b^2\right)c^2+c^4-4c^2b^2=\left(a^2-b^2-c^2\right)^2-4c^2b^2\)

=\(\left(a^2-b^2-c^2-2bc\right)\left(a^2-b^2-c^2+2bc\right)=\left[a^2-\left(b+c\right)^2\right]\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\)

=\(\left(a-b-c\right)\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\)

Mà a,b,c là 3 cạnh tam giác => a-b-c<0 ;a+b+c>0;a-b+c>0;a+b-c>0 

=>\(...< 0\Rightarrow a^4+b^4+c^4< 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\left(ĐPCM\right)\)

ta có\(a^4+b^4+c^4< 2a^2b^2+2c^2a^2+2b^2c^2\)

<=> \(-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2>0\)

<=>\(4a^2c^2-\left(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2+2a^2c^2-2b^2c^2\right)>0\)

<=> \(4a^2c^2-\left(a^2-b^2+c^2\right)^2>0\)

<=>.......

<=>(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b-a+c)>0

luôn đúng vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác 

vậy bđt trên dc cm dễ dàng

bạn sử dụng BĐT tam giác :

a  <  b + c => a² < b² + c²

b < a + c => b² < a² + c²

c < a + b => c² < a² + b²

bạn tự làm nhé vì mik làm bạn cũng ko chọn mik

Ta có:A = a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²b² - 2b²c² - 2a²c² = (a²)² + (b²)² + (c²)² + 2a²b² - 2b²c² - 2a²c² +

4a²b² = (a²+b²-c²)²-4a²b²

=(a²+b²-c²-2ab)(a²+b²-c²+2ab) (1)

Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên c>|a-b| =>c²>(|a-b|)²=(a-b)²

=>c²>a²+b²-2ab =>a²+b²-c²-2ab<0 (2)

lại có a+b>c =>(a+b)²>c² =>a²+b²-c² +2ab > 0 (3)

Từ (1)(2)(3) =>A<0 (Đpcm)

#Thắng: t ko nghĩ ông lại copy trong CHTT đấy, mà sai rồi, đề là CM>0; ông lại CM < 0

a) \(6x^2-11xy+3y^2=6x^2-2xy-9xy+3y^2=2x.\left(3x-y\right)-3y.\left(3x-y\right)\)

= \(\left(3x-y\right).\left(2x-3y\right)\)

b) PP: dùng hệ số bất định

ta có: x^4 -3x^3+6x^2-5x+3=(x^2+ax-1)(x^2 +bx-3)  (*)

                                           =x^4 +bx^3-3x^2+ax^3 +(a+b)x^2 -3ax  -x^2-bx+3

                                           =x^4 +(b+a)x^3 +(a+b-3-1)x^2 -(3a+b)x +3

=> a+b=-3

    a+b-4=6          

   3a+b=5

<=> a=7/2 ;b=13/2  thay vào (*) ta đc: x^4 -3x^3+6x^2-5x+3=(x^2+\(\frac{7}{2}\).x -1)(x^2 +\(\frac{13}{2}\).x -3)

Hay x^4 -3x^3+6x^2-5x+3= \(\frac{1}{4}.\left(2x^2+7x-2\right)\left(2x^2+13-6\right)\)