\(a^3+b^3+c^3-3abc=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=1\) (1)

Do \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>0\Rightarrow a+b+c>0\)

(1)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca+\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2=\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{a+b+c}\ge3\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge1\)

Lời giải:

Đặt $a+b+c=p; ab+bc+ac=q=1; abc=r$

$p,r\geq 0$

Áp dụng BĐT AM-GM: $p^2\geq 3q=3\Rightarrow p\geq \sqrt{3}$

$a,b,c\leq 1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$

$\Leftrightarrow p+r\leq 2\Rightarrow p\leq 2$

$P=\frac{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+3}{a+b+c-abc}=\frac{(a+b+c)^2+1}{a+b+c-abc}=\frac{p^2+1}{p-r}$

Ta sẽ cm $P\geq \frac{5}{2}$ hay $P_{\min}=\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{p^2+1}{p-r}\geq \frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow 2p^2-5p+2+5r\geq 0(*)$

---------------------------

Thật vậy:

Áp dụng BĐT Schur thì:

$p^3+9r\geq 4p\Rightarrow 5r\geq \frac{20}{9}p-\frac{5}{9}p^3$

Khi đó:

$2p^2-5p+2+5r\geq 2p^2-5p+2+\frac{20}{9}p-\frac{5}{9}p^3=\frac{1}{9}(2-p)(5p^2-8p+9)\geq 0$ do $p\leq 2$ và $p\geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow (*)$ được CM

$\Rightarrow P_{\min}=\frac{5}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và hoán vị

\(=\left(a+b+c-3\right)^2+2002\)

đúng rồi đấy

a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 ab + bc + ca = a + b + c 2 − 6. P = a + b + c 2 − 6 − 6 a + b + c + 2017 = a + b + c 2 − 6 a + b + c + 9 + 2002 = a + b + c − 3 2 + 2002 Mà a + b + c − 3 2 ≥ 0nên GTNN của P bằng 2002

Ủa số thực âm hay không âm vậy em?

Đặt \(a+b+c=p\) ; \(ab+bc+ca=q\) ; \(abc=r\)

\(\Rightarrow p^2\ge3q\)

Từ giả thiết: \(4q=9r+1\)

Áp dụng BĐT Schur bậc 3:  \(r\ge\dfrac{4pq-p^3}{9}\)

\(\Rightarrow4q\ge4pq-p^3+1\Leftrightarrow p^3-1+4q-4pq\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p^2+p+1-4q\right)\ge0\)

Nếu \(p< 1\Rightarrow p^2+p+1-4q\le0\)

Mà \(p< 1\Rightarrow1>p^2\Rightarrow0\ge p^2+p+1-4q>p^2+p+p^2-4q\)

\(\Rightarrow2\left(p^2-2q\right)+p< 0\) (vô lý do \(p^2\ge3q\ge2q\))

\(\Rightarrow p\ge1\)

Vậy \(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\) hoặc \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\) và các hoán vị

Ta có : \(P=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow P+2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow P+2=\left(a+b+c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge-2\)

Vậy Min_P = -2 tại a + b + c = 0 .

Dễ thấy:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow P\ge ab+bc+ca=1\)

\(minP=1\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Cách khác:

Áp dụng BĐT BSC:

\(ab+bc+ca=1\)

\(\Rightarrow1=\left(ab+bc+ca\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=P^2\)

\(\Rightarrow P\ge1\left(\text{Do }P>0\right)\)

\(minP=1\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)