bạn chuyển về dạng pt bậc 2 rồi giải: 4b² + 2abc + 5a² + 3c² - 60 = 0 . giải beta = (az)² -  4( 5a² + 3c² - 60) = (-a² + 12)(-c² +20) > 0₁

  \(b_1=\frac{-a^2+\sqrt{\left(-a^{2^{ }}+12\right)\left(-c^{2^{ }}+20\right)}}{4}\)\(\le\)..... \(\frac{3c-\left(a+c\right)^2}{8}\).

tương tự giải đối với a, c .. Suy ra : a+b+c\(\le\)\(\frac{35-\left(b+c\right)^2+10\left(b+c\right)}{10}\)= \(\frac{-t^2+10t+35}{10}\)=\(\frac{60-\left(t^2-10t+25\right)^{ }}{10}\)=\(\frac{60-\left(t-5\right)^2}{10}\)=\(\frac{60-\left(b+c-5^{ }\right)^2}{10}\)\(\le\)\(\frac{60}{10}=6\).Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow\) b +c - 5 = 0 và 15- b² = 20 - c² 

\(\Leftrightarrow\)a=1,b= 2, c= 3.

Bài 2 : 

\(x^2+xy-2013x-2014y-2015=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+xy-2014x-2014y+x-2014-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+xy\right)-\left(2014x+2014y\right)+\left(x-2014\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+y\right)-2014\left(x+y\right)+\left(x-2014\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2014\right)\left(x+y\right)+\left(x-2014\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2014\right)\left(x+y+1\right)=1\)

Vì x, y là số nguyên dương \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-2014\inℤ\\x+y+1\inℤ\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(x-2014\)và \(x+y+1\)là ước của 1

Lập bảng giá trị ta có:

Vậy các cặp giá trị \(\left(x;y\right)\)thỏa mãn đề bài là \(\left(2013;-2015\right)\)hoặc \(\left(2015;-2015\right)\)

\(GT\Leftrightarrow5a^2+2abc+\left(4b^2+3c^2-60\right)=0\). (*)

\(\Delta'=\left(bc\right)^2-5\left(4b^2+3c^2-60\right)=b^2c^2-20b^2-15c^2+300=\left(b^2-15\right)\left(c^2-20\right)\).

Ta có a, b, c > 0 nên \(4b^2< 60;3c^2< 60\Rightarrow b^2< 15;c^2< 20\).

Do đó \(\Delta'>0\).

Vì a là nghiệm dương của (*) nên: \(a=\frac{\sqrt{\left(15-b^2\right)\left(20-c^2\right)}-bc}{5}\le_{AM-GM}\frac{15-b^2+20-c^2-2bc}{10}=\frac{30-\left(b+c\right)^2}{10}\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\frac{30+10\left(b+c\right)-\left(b+c\right)^2}{10}=\frac{55-\left(b+c-5\right)^2}{10}\le\frac{11}{2}\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b = 2; c = 3; a = 0,5.

Cho a,b,c là các số thực dương:
Chứng minh rằng:

Ta thấy trong ba số thực dương luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay bằng hoặc nhỏ hơn hay bằng . Giả sử đó là và .

Khi đó ta có: suy ra

Do đó,

Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh:

(đúng)

Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .

Theo đề ra, ta có:

\(a^2+b^2+c^2\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)

Theo BĐT Cô-si:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

Do vậy \(M\ge14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\)

Ta đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)

Luôn có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

Vì thế nên \(k\ge\dfrac{1}{3}\)

Khi đấy:

\(M\ge14k+\dfrac{3\left(1-k\right)}{2k}=\dfrac{k}{2}+\dfrac{27k}{2}+\dfrac{3}{2k}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{27k}{2}.\dfrac{3}{2k}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{3}\)

\(\Rightarrow Min_M=\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\).

dcv_new 

\(\Sigma\frac{a^2}{pab+qca}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(p+q\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{p+q}\)

2, ta có \(\sqrt{a}=\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}\)

vậy ta được \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}+\sqrt{\frac{b}{y}}\cdot\sqrt{y}+\sqrt{\frac{c}{z}}\cdot\sqrt{z}\right)^2\le\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\left(x+y+z\right)=S\)

dấu đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt{x}:\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{y}:\sqrt{\frac{b}{y}}=\sqrt{z}:\sqrt{\frac{c}{z}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1\\\frac{x}{\sqrt{a}}=\frac{y}{\sqrt{b}}=\frac{z}{\sqrt{c}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};y=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};z=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

vậy min (x+y+z)=\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\)

À nhầm đề 1 tí . Sửa thành a, b, c , p , q  

Đánh máy nhanh quá nên nhầm xíu =)