TH1:x+y+z=0 \(\Rightarrow x=y=z=0\)

TH2:x+y+z\(\ne0\)

Áp dụng t/c .............

Được x+y+z=1/2

Biến đổi ta được \(x=\frac{1}{2};y=\frac{1}{2};z=-\frac{1}{2}\)

\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)

\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)

\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)

\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)

Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\)

<=>x²z+y²x+z²y=x²y+y²z+z²x

<=>(x²z-x²y)+(y²x-z²x)+(z²y-y²z)=0

<=>x².(z-y)-x.(z-y)(z+y)+yz.(z-y)=0

<=>(z-y)(x²-xz-xy+yz)=0

<=>(z-y)(x-z)(x-y)=0

<=>x=y=z

Mà x+y+z=3

=>x=y=z=1

Có thể   \(x=y=z=1\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

\(\frac{x}{x^3+y^2+z}=\frac{x\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}{\left(x^3+y^2+z\right)\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}\le\frac{1+x+xz}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{1+x+xz}{9}\)

Tương tự rồi cộng lại ta được:

\(T\le\frac{3+x+y+z+xy+yz+zx}{9}=\frac{6+xy+yz+zx}{9}\le\frac{6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{9}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)

xin lỗi, chỉ có 1 trg hợp thôi

hình như bạn chép sai đề thì phải

Bỏ một cái =3 đi nha mk đánh nhầm thông cảm dùm

x = 1

y = 1

z = 1