ta có bđt cần chứng minh 

\(\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\Leftrightarrow\sqrt{xy+z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge1+\sqrt{xy}\)

Áp dụng bđt bu nhi ta có 

\(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\) (1)

mà x+y+z=1\(\Rightarrow xy+z=xy+z\left(x+y+z\right)=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)

áp dụng bu nhi a ta có \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\) (2)

từ (1) và (2) => \(\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge x+y+z+\sqrt{xy}=1+\sqrt{xy}\)

Xét vế trái :

Do a,b,c >0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số:

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

Tương tự ta cũng có:

\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế của các bđt ta đc:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=2\left(1\right)\)

Xét vế phải ta có: a,b,c>0

Áp dụng bđt Cô-si:

\(a+b+c\ge2\sqrt{\left(a+b\right)c}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)c}}\ge\frac{2}{x+y+z}\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)

Tương tự ta có:

\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\)

\(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)

Cộng vế với vế của các bđt ta đc:

\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge2\left(2\right)\)

Từ (1) (2) suy ra đpcm

CHO a,b,c>0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2+b^2+c^2\)

CMR: \(\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ĐẶT \(A=\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(c^2+a^2\right)}\)

ĐẶT:\(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)

\(\Rightarrow A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{z^2+y^2}\)

TA CÓ:

\(x\left(y^2+z^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x^2\left(y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\left(2x^2+2y^2+2z^2\right)^3}{27}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)TƯƠNG TỰ:

\(y\left(x^2+z^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2},z\left(x^2+y^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)LẠI CÓ:
\(A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{x^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}=\frac{x^4}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{y^4}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{z^4}{z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(x^2+z^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{1}{3.\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

DẤU BẰNG XẢY RA\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow DPCM\)

BĐT Vacs: Với a, b, c > 0 và abc = 1. Có:\(\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1}\ge1\)

Đặt \(a\rightarrow a^k,b\rightarrow b^k,c\rightarrow c^k\) thì abc = 1. Có: \(\frac{1}{a^{2k}+a^k+1}+\frac{1}{b^{2k}+b^k+1}+\frac{1}{c^{2k}+c^k+1}\ge1\) (*)

BĐT (*) sẽ giúp ta giải được khá nhiều bài toán với điều kiện abc = 1.

Ví dụ 1: \(\frac{1}{\left(1+2a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+2b\right)^2}+\frac{1}{\left(1+2c\right)^2}\ge\frac{1}{3}\) với abc =1,a>0,b>0,c>0

Phân tích: Ta chọn k: \(\frac{1}{\left(1+2a\right)^2}=\frac{1}{4a^2+4a+1}\ge\frac{1}{3\left(a^{2k}+a^k+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow3a^{2k}+3a^k+2\ge4a^2+4a\)

Đạo hàm và cho a = 1 thì được \(k=\frac{4}{3}\)

Vậy ta chứng minh: \(\frac{1}{\left(1+2a\right)^2}\ge\frac{1}{3\left(a^{\frac{8}{3}}+a^{\frac{4}{3}}+1\right)}\) (1)

Đặt \(a\rightarrow x^3\) cần chứng minh: \(\frac{1}{\left(1+2x^3\right)^2}\ge\frac{1}{3\left(x^8+x^4+1\right)}\) (dễ dàng) 

Từ đó thiết lập 2 BĐT tương tự (1), cộng theo vế, dùng (*)  với k = 4/3 ta được đpcm. 

Lời giải xin để cho mọi người.

PS: Bài trên có một cách dùng UCT khá khó ở https://diendantoanhoc.net/topic/90839-phương-pháp-hệ-số-bất-định-uct/?p=394487

Ví dụ 2: Cho x,y,z > 0  và xyz =1 .Chứng minh: \(\frac{x^2}{\left(1+x\right)^2}+\frac{y^2}{\left(1+y\right)^2}+\frac{z^2}{\left(1+z\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow abc=1\)

Ta có: \(\frac{x^2}{\left(1+x\right)^2}=\frac{1}{\left(a+1\right)^2}\ge\frac{3}{4\left(a^2+a+1\right)}\)

ta có \(A=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{4}{xy}=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}+\frac{4}{xy}=\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\)

áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có 

\(\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\ge\frac{16}{x^2+y^2+2xy}=16\)

mà \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

=> \(\frac{1}{xy}\ge4\)

=> \(A\ge20\)

dấu = xảy ra <=> x=y=1/2