Để phương trình có 2 nghiệm \(x_1;x_2\)thì \(\Delta'=\left(m+2\right)^2-m^2-7>0\Rightarrow m^2+4m+4-m^2-7>0\)

\(\Rightarrow4m-3>0\Rightarrow m>\frac{3}{4}\)

Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+4\\x_1.x_2=m^2+7\end{cases}}\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow m^2+7=4+2\left(2m+4\right)\Leftrightarrow m^2-4m-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m-5\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=-1\left(l\right)\\m=5\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy \(m=5\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(5m+1\right)=m^2-3m\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=5m+1\end{matrix}\right.\)

a.

\(S=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-3\left(5m+1\right)\)

\(=4m^2-7m+1=\dfrac{7}{3}\left(m^2-3m\right)+\dfrac{5}{3}m^2+1\ge1\)

\(S_{min}=1\) khi \(\dfrac{7}{3}\left(m^2-3m\right)+\dfrac{5}{3}m^2=0\Rightarrow m=0\)

b.

\(1< x_1< x_2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1>0\\x_1+x_2>2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5m+1-2\left(m+1\right)+1>0\\2\left(m+1\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m>-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>0\)

Kết hợp điều kiện delta \(\Rightarrow m\ge3\)

\(a,\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-4\left(5m+1\right)\ge0\Leftrightarrow4m^2-12m\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le0\\m\ge3\end{matrix}\right.\)

\(vi-ét\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m+2\\x1x2=5m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S=x1^2+x2^2-x1x2=\left(x1+x2\right)^2-3x1x2\)

\(=\left(2m+2\right)^2-3\left(5m+1\right)=4m^2-7m+1\)

\(=\left(2m\right)^2-2.2.\dfrac{7}{4}.m+\left(\dfrac{7}{4}\right)^2-\dfrac{33}{16}=\left(2m-\dfrac{7}{4}\right)^2-\dfrac{33}{16}\left(1\right)\)

\(TH1:m\ge3\Rightarrow\left(1\right)\ge\left(2.3-\dfrac{7}{4}\right)^2-\dfrac{33}{16}=16\)

\(TH2:m\le0\Rightarrow\left(1\right)\ge\left(0-\dfrac{7}{4}\right)^2-\dfrac{33}{16}=1\)

\(\Rightarrow MinS=1\Leftrightarrow m=0\left(tm\right)\)

\(b,1< x1< x2\Leftrightarrow0< x1-1< x2-1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left(x1-1\right)\left(x2-1\right)>0\\x1+x2-2>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< 0\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x1>1\\x2>1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x1 < 1\\x2< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\2m+2-2>0\\\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< 0\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x1x2>1\\x1x2< 1\end{matrix}\right.\\m>0\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< 0\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< 0\end{matrix}\right.\\m>0\\\end{matrix}\right.\Rightarrow m>3\)

\(ac=-6< 0\Rightarrow\) phương trình đã cho luôn luôn có 2 nghiệm pb (trái dấu)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=-6\end{matrix}\right.\)

Thế vào đề bài:

\(m-2-3\left(-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m+16=0\Leftrightarrow m=-16\)

\(x^2-\left(m-2\right)x-6=0\left(1\right)\)

\(\Rightarrow\Delta=b^2-4ac=\left[-\left(m-2\right)\right]^2-4.\left(-6\right)\)

\(=m^2-4m+4+24=m^2-4m+28\)

\(=\left(m-2\right)^2+24\)

Thấy \(\left(m-2\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow\left(m-2\right)^2+24>0\forall m\)

Vậy phương trình luân có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)

Áp dụng \(Vi-ét \) ta có :

\(S=x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m-2\)

\(P=x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=-6\)

Ta có \(x_1+x_2-3.x_1.x_2=0\)

\(\Leftrightarrow m-2-3.\left(-6\right)=0\Rightarrow m=-16\)

\(\Delta'=m-1\ge0\Rightarrow m\ge1\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m+1\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)

\(=m^2-3m+1\)

Biểu thức này ko có max, chỉ có min, chắc bạn ghi ko đúng đề

ĐK: \(x\ge2\)

\(pt\Leftrightarrow x^2+mx=x-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(m-1\right)x+2=0\)

Phương trình có hai nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta=m^2-2m-7\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le1-2\sqrt{2}\\m\ge1+2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Theo định lí Vi-ét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-m\\x_1.x_2=2\end{matrix}\right.\)

\(x_1+x_2=3x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow1-m=6\)

\(\Leftrightarrow m=-5\left(tm\right)\)

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì:

$\Delta'=4+m^2+5m>0\Leftrightarrow (m+1)(m+4)>0$

$\Leftrightarrow m>-1$ hoặc $m< -4(*)$

Áp dụng định lý Vi-et, với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt thì: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-4\\ x_1x_2=-(m^2+5m)\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(|x_1-x_2|=4\)

\(\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2=16\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=16\)

\(\Leftrightarrow (-4)^2+4(m^2+5m)=16\)

\(\Leftrightarrow m^2+5m+4=4\)

\(\Leftrightarrow m^2+5m=0\Leftrightarrow m(m+5)=0\Rightarrow m=0\) hoặc $m=-5$. Kết hợp với $(*)$ ta thấy 2 giá trị này đều thỏa mãn.

Vậy........