Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn, lấy điểm C bất kì. Vẽ tiếp tuyến (O) tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E. a) AC cắt DO tại M, BC cắt OE tại N. Tử giác CMON là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh rằng MO.DM + ON.NE không đổi c) AN cắt CO tại điểm H. Điểm H di chuyển trên đường nào khi C di chuyển trên nửa đường tròn (O; R).
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Lấy M trên nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh điểm O nằm trên đường tròn (O') đường kính CD.
b) Gọi giao điểm của CO và AM là I, giao điểm của MB và OD là K. Chứng minh MO = IK.
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O') đường kính CD.
d) Chứng minh rằng khi M chạy trên nửa đường tròn (O) thì trung điểm của MI chạy trên đường cố định.
a: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)
mà OM=OA
nên OC là đường trung trực của MA
=>OC vuông góc với MA tại I
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)
mà OM=OB
nên OD là trung trực của BM
=>OD vuông góc với BM
Từ (1) và (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ
=>O nằm trên đường tròn đường kính CD
b: Xét tứ giác MIOK có
góc MIO=góc IOK=góc MKO=90 độ
nên MIOK là hình chữ nhật
=>MO=IK
c: Xét hình thang ABDC có
O,O' lần lượt là trung điểm của AB,CD
nên OO' là đường trung bình
=>OO''//AC
=>OO' vuông góc với AB
=>AB là tiếp tuyến của (O')
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên cùng một mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D. chứng minh COD là tam giác vuông
Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)
mà OM=OA
nên OC là đường trung trực của MA
=>OC vuông góc với MA tại I
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)
mà OM=OB
nên OD là trung trực của BM
=>OD vuông góc với BM
Từ (1) và (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn (O) có bờ là AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E, MB cắt nửa đường tròn tâm O tại D( D khác B).
a. CMR: AMDE nội tiếp đường tròn.
b. CMR: MA.MA=MD.MB
a: Xét (O) có
MA,MC là tiếp tuyến
=>MA=MC
mà OA=OC
nên MO là trung trực của AC
=>MO vuông góc AC tại E
góc ADB=1/2*sđ cung AB=90 độ
=>AD vuông góc MB
góc ADM=góc AEM=90 độ
=>AMDE nội tiếp
b: ΔMAB vuông tại A có AD là đường cao
nên MA^2=MD*MB
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ hai tiếp xuyến Ax, By với nửa đường tròn. M là một điểm nằm trên nửa đường tròn (M khác A và B), từ M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D
a: Xét (O) có
CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm
CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm
Do đó: CM=CA
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm
Do đó: DM=DB
Ta có: CM+MD=CD
mà CM=CA
và DM=DB
nên CD=CA+DB
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Từ điểm M thuộc nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Tia BM cắt Ax tại K. Nối OC cắt AM tại E, nối OD cắt BM tại F.
- Kẻ MN vuông góc AB tại N. CM ONEF là hình thang cân.
C là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và M \(\Rightarrow OC\) là trung trực AM
\(\Rightarrow E\) là trung điểm AM
Tương tự ta có OD là trung trực BM \(\Rightarrow F\) là trung điểm BM
\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác ABM
\(\Rightarrow EF||AB\Rightarrow ONEF\) là hình thang (1)
Lại có O là trung điểm AB \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác ABM
\(\Rightarrow OF=\dfrac{1}{2}AM=AE\)
Mà \(OF||AE\) (cùng vuông góc BM)
\(\Rightarrow AEFO\) là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{OAE}\)
Mà \(EN=AE=\dfrac{1}{2}AM\Rightarrow\Delta AEN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ANE}\)
\(\widehat{ANE}+\widehat{ONE}=180^0\Rightarrow\widehat{OFE}+\widehat{ONE}=180^0\)
Lại có \(\widehat{ONE}+\widehat{NEF}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)
\(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{NEF}\)
\(\Rightarrow ONEF\) là hình thang cân
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn, lấy điểm C bất kì. Vẽ tiếp tuyến (O) tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E.
a) Chứng minh rằng AD + BE = DE
a) CE và EB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E
⇒ EC = EB và CB ⊥ OE
Tương tự, DC và DA là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D
⇒ DC = DA và AC ⊥ OD
Khi đó: AD + BE = DC + EC = DE
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn, lấy điểm C bất kì. Vẽ tiếp tuyến (O) tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E.
a) Chứng minh rằng AD + BE = DE
b) AC cắt DO tại M, BC cắt OE tại N. Tứ giác CMON là hình gì? Vì sao?
c/ Chứng minh: MO.MD+ON.NE không đổi
d) AN cắt CO tại điểm H. Điểm H di chuyển trên đường nào khi C di chuyển trên nửa đường tròn (O; R).
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn, lấy điểm C bất kì. Vẽ tiếp tuyến (O) tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E.
d) AN cắt CO tại điểm H. Điểm H di chuyển trên đường nào khi C di chuyển trên nửa đường tròn (O; R).
d) Ta có: N là trung điểm của BC
⇒ AN là trung tuyến của ΔABC
CO cũng là trung tuyến của ΔABC
AN ∩ CO = H
⇒ H là trọng tâm ΔABC
Vậy khi C di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì H di chuyển trên nửa đường tròn
(O; R/3)
