Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: GD = 1/2 GB (tính chất đường trung tuyến của tam giác)

GH = 1/2 GB (gt)

Suy ra: GD = GH

GE = 1/2 GC (tính chất đường trung tuyến của tam giác)

GK = 1/2 GC

Suy ra GE = GK

Tứ giác DEHK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

a)

BD là đường trung tuyến của Δ ABC nên D là trung điểm của AC (1)

CE là đường trung tuyến của Δ ABC nên E là trung điểm của AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

DE là đường trung bình của Δ ABC

=> DE // BC và DE = 1/2 BC

Δ BGC có H là trung điểm của GB và K là trung điểm của GC

suy ra HK là đường trung bình của Δ BGC

=> HK // BC và HK = 1/2 BC

Tứ giác DEHK có DE//BC, HK // BC và DE = HK = 1/2 BC

nên tứ giác

b) DEHK là hình bình hành nên

HG = GD = 1/2 HD và GE = GK = 1/2 EK

Để tứ giác DEHK là hình chữ nhật thì

HD = EK => 1/2 HD = 1/2 EK => GE = GD và GH = GK

GH = GK => 2GH = 2GK => GB = GC

Xét Δ GEB và Δ GDC có

tứ giác DEHK là hình chữ nhật thì

nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình thoi

a)

BD là đường trung tuyến của Δ ABC nên D là trung điểm của AC (1)

CE là đường trung tuyến của Δ ABC nên E là trung điểm của AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

DE là đường trung bình của Δ ABC

=> DE // BC và DE = 1/2 BC

Δ BGC có H là trung điểm của GB và K là trung điểm của GC

suy ra HK là đường trung bình của Δ BGC

=> HK // BC và HK = 1/2 BC

Tứ giác DEHK có DE//BC, HK // BC và DE = HK = 1/2 BC

nên tứ giác

b) DEHK là hình bình hành nên

HG = GD = 1/2 HD và GE = GK = 1/2 EK

Để tứ giác DEHK là hình chữ nhật thì

HD = EK => 1/2 HD = 1/2 EK => GE = GD và GH = GK

GH = GK => 2GH = 2GK => GB = GC

Xét Δ GEB và Δ GDC có

tứ giác DEHK là hình chữ nhật thì

nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình thoi

Sửa đề: Đường trung tuyến BD

a) Ta có: BD và CE lần lượt là các đường trung tuyến ứng với các cạnh AC,AB trong ΔABC(gt)

nên E là trung điểm của AB và D là trung điểm của AC

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB(cmt)

D là trung điểm của AC(cmt)

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: ED//BC và \(ED=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔGBC có 

H là trung điểm của GB(gt)

K là trung điểm của GC(gt)

Do đó: HK là đường trung bình của ΔGBC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: HK//BC và \(HK=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ED//HK và ED=HKXét tứ giác EDKH có 

ED//HK(cmt)

ED=HK(cmt)

Do đó: EDKH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Sửa đề: Đường trung tuyến BD

a) Ta có: BD và CE lần lượt là các đường trung tuyến ứng với các cạnh AC,AB trong ΔABC(gt)

nên E là trung điểm của AB và D là trung điểm của AC

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB(cmt)

D là trung điểm của AC(cmt)

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: ED//BC và HK=BC2HK=BC2(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ED//HK và ED=HKXét tứ giác EDKH có 

ED//HK(cmt)

ED=HK(cmt)

Do đó: EDKH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Nếu BD ⊥ CE ⇒ DH ⊥ EK

Hình bình hành DEHK có hai đường chéo vuông góc nên nó là hình thoi.

Vì E,H là trung điểm AB,GB nên EH là đtb tg ABG

Do đó EH//AG và \(EH=\dfrac{1}{2}AG\)

Vì F,K là trung điểm CA,CG nên FK là đtb tg AGC

Do đó FK//AG và \(FK=\dfrac{1}{2}AG\)

\(\Rightarrow FK//EH\text{ và }FK=EH\\ \Rightarrow DEHK\text{ là hình bình hành}\)

Để DEHK là hv

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}EH\perp HK\\EK\perp HD\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

Ta có HK là đtb tg BGC nên HK//BC 

Kết hợp \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AG\perp BC\left(EH//AG\right)\\BD\perp CE\end{matrix}\right.\)

Mà AG là trung tuyến nên ABC cân tại A

Vậy tam giác ABC cân tại A có trung tuyến BD,CE vuông góc với nhau thì DEHK là hình vuông

\(a,\) Vì E,D là trung điểm AB,AC nên ED là đường trung bình tam giác ABC

Do đó \(ED//BC;ED=\dfrac{1}{2}BC(1)\)

Vì H,K là trung điểm GB,GC nên HK là đường trung bình tam giác BGC

Do đó \(HK//BC;HK=\dfrac{1}{2}BC(2)\)

Từ \((1)(2)\Rightarrow HK//ED;HK=ED\)

Vậy DEHK là hình bình hành

\(b,\Delta ABC\) cân tại A nên \(AB=AC\Rightarrow \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\)

\(\Rightarrow AE=EB=AD=DC\)

Ta có \(AB=AC;AE=AD;\widehat{BAC}\) chung

\(\Rightarrow \Delta ADB=\Delta AEC(c.g.c)\\ \Rightarrow BD=EC\)

Lại có G là trọng tâm tam giác ABC nên \(CK=KG=GE=\dfrac{1}{3}CE\)

\(BH=HG=GD=\dfrac{1}{3}BD\)

Do đó \(KG+GE=HG+GD(\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2}{3}CE)\)

\(\Rightarrow EK=HD\)

Vậy DEHK là hình chữ nhật

Hình bình hành DEHK trở thành hình chữ nhật khi DH = EK

Mà DH = 2/3 BD; EK = 2/3 CE

Nên DH = EK ⇒ BD = CE

⇒ ∆ ABC cân tại A.

Vậy  ∆ ABC cân tại A thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật.