TH1: \(x+y+z+t=0\)

\(P=\left(1+\dfrac{x+y}{z+t}\right)^{2023}+\left(1+\dfrac{y+z}{x+t}\right)^{2023}+\left(1+\dfrac{z+t}{x+y}\right)^{2023}+\left(1+\dfrac{t+x}{y+z}\right)^{2023}\)

\(=\left(\dfrac{x+y+z+t}{z+t}\right)^{2023}+\left(\dfrac{x+y+z+t}{x+t}\right)^{2023}+\left(\dfrac{x+y+z+t}{x+y}\right)^{2023}+\left(\dfrac{x+y+z+t}{y+z}\right)^{2023}\)

\(=0+0+0+0=0\) là số nguyên (thỏa mãn)

TH2: \(x+y+z+t\ne0\), áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{2023x+y+z+t}=\dfrac{y}{x+2023y+z+t}=\dfrac{z}{x+y+2023z+t}+\dfrac{t}{x+y+z+2023t}\)

\(=\dfrac{x+y+z+t}{\left(2023x+y+z+t\right)+\left(x+2023y+z+t\right)+\left(x+y+2023z+t\right)+\left(x+y+z+2023t\right)}\)

\(=\dfrac{x+y+z+t}{2026\left(x+y+z+t\right)}=\dfrac{1}{2026}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2023x+y+z+t}=\dfrac{1}{2026}\\\dfrac{y}{x+2023y+z+t}=\dfrac{1}{2026}\\\dfrac{z}{x+y+2023z+t}=\dfrac{1}{2026}\\\dfrac{t}{x+y+z+2023t}=\dfrac{1}{2026}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2026x=2023x+y+z+t\\2026y=x+2023y+z+t\\2026z=x+y+2023z+t\\2026t=x+y+z+2023t\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=x+y+z+t\\4y=x+y+z+t\\4z=x+y+z+t\\4t=x+y+z+t\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4x=4y=4z=4t\) (vì đều bằng \(x+y+z+t\))

\(\Rightarrow x=y=z=t\)

Do đó:

\(P=\left(1+\dfrac{x+x}{x+x}\right)^{2023}+\left(1+\dfrac{x+x}{x+x}\right)^{2023}+\left(1+\dfrac{x+x}{x+x}\right)^{2023}+\left(1+\dfrac{x+x}{x+x}\right)^{2023}\)

\(=2^{2023}+2^{2023}+2^{2023}+2^{2023}\)

\(=4.2^{2023}=2^{2025}\in Z\)

Em kiểm tra lại đề, 2 ngoặc cuối bị giống nhau, chắc em ghi nhầm

Giúp mình nha mk đg cần gấp

Làm rồi nhưng olm không hiện.Hướng dẫn thôi nha.

Cộng 1 vào mỗi vế của giả thiết.Rồi chia tất cả các vế của giả thiết cho x + y + z +t khác 0.

Ta sẽ được: \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}=\frac{1}{t}\Rightarrow x=y=z=t\)

Đến đây thay vào M: y,z,t bởi x ta sẽ thu được kết quả.

a,Tìm 2 số hữu tỷ a,b biết rằng a—b=2(a+b)=3:b

b,Ba phân số có tổng bằng 213/70 các tử số của chúng tỉ lệ với 3 4 5 các mẫu số của chúng tỉ lệ với 5 1 2 Tìm ba phân số đã cho

Tìm giá trị x y z nguyên dương thỏa mãn 2(x+y+z)=xyz

TH1 : \(x+y+z+t=0\)

    => \(x+y=-\left(z+t\right)\)

         \(y+z=-\left(x+t\right)\)

         \(z+t=-\left(x+y\right)\)

        \(x+t=-\left(y+z\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x+y}{z+t}=\frac{y+z}{t+x}=\frac{z+t}{x+y}=\frac{t+x}{y+z}=-1\)

\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}=-4\)

TH2 : \(x+y+z+t\ne0\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)

\(=\frac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=3\)( do \(x+y+z+t\ne0\))

\(\Rightarrow x=3\left(y+z+t\right)\)

     \(y=3\left(z+t+x\right)\)

     \(z=3\left(t+x+y\right)\)

     \(t=3\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\)\(4x=3\left(x+y+z+t\right)\)

         \(4y=3\left(x+y+z+t\right)\)

         \(4z=3\left(x+y+z+t\right)\)

         \(4t=3\left(x+y+z+t\right)\)

\(\Rightarrow\)\(4x=4y=4z=4t\)

\(\Rightarrow\)\(x=y=z=t\)

\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)\(=1+1+1+1\)\(=4\)

Vậy trong cả 2 trường hợp  P đều có giá trị nguyên

Bài trên đúng rồi đó các bạn cho bn ý

Mà đây là Toán 7 thì đúng hơn 

Theo đề, ta có:   \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{t}=\dfrac{t}{x}\) \(=\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t+x}=1\) .

\(\Rightarrow x=y;y=z;z=t;t=x\)

\(\Rightarrow x=y=z=t\)

\(M=\dfrac{2x-y}{z+t}+\dfrac{2y-z}{t+x}+\dfrac{2z-t}{x+y}+\dfrac{2t-x}{y-z}\)

\(M=\dfrac{2x-x}{x+x}+\dfrac{2x-x}{x+x}+\dfrac{2x-x}{x+x}+\dfrac{2x-x}{x+x}\)

\(M=\dfrac{1}{2}.4\)

\(M=2\)