1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

\(H=|x-3|+|4-x|\ge|x-3+4-x|=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=3

\(H=\left|x-3\right|+\left|4-x\right|\ge\left|x-3+4-x\right|=1\)

Dau "=" xra  <=>  \(\left(x-3\right)\left(4-x\right)\ge0\)  ,=>  \(3\le x\le4\)

\(A=x\left(x+2\right)+2\left(x-\frac{3}{2}\right)\)

\(=x^2+2x+2x-3\)

\(=x^2+4x-3\)

\(=x^2+4x+4-7=\left(x+2\right)^2-7\ge-7\)

Dau "=" xra  <=> x = -7

Vay...

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

a) \(A=H+\sqrt{x}=1-\sqrt{x}+\sqrt{x}=1\) thì sao mà tìm được GTNN

b) \(A=H-4\sqrt{x}=1-\sqrt{x}-4\sqrt{x}=1-5\sqrt{x}\)

Ta có: \(5\sqrt{x}\ge0\Rightarrow-5\sqrt{x}\le0\Rightarrow1-5\sqrt{x}\le1\)

\(\Rightarrow A_{max}=1\) khi \(x=0\)

Áp dụng Bunyakovsky, ta có :

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)

=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)

=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Mấy cái kia tương tự 

H=căn x(căn x+1)+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=0

ĐKXĐ: x ≥ 0

Với x ≥ 0 thì

x ≥ 0

√x ≥ 0

⇒ x + √x + 3 ≥ 3

Vậy GTNN của H là 3 khi x = 0