CMR: Hiệu của 1 STN co 2 chữ số với số gồm 2 số ấy viết ngược lại thì chia hết cho 9
CMR : Nếu viết thêm vào đằng sau 1 số có 2 chữ số số gồm chính 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì đc 1 số chia hết cho 11
abba = 1001a + 110b=11(91a+10b) chia hết cho 11
Chứng minh rằng:
a, Tổng của một số tự nhiên có hai chữ số với số gồm hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta có một số chia hết cho 11.
b, Hiệu của một số tự nhiên có hai chữ số với số gồm hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại chia hết cho 9.
Gọi số có 2 chữ số đó là\(\overline{ab}\)(\(a\in\)N*,\(b\in N\))
=>Số đó viết theo thứ tự ngược lại là \(\overline{ba}\)
a)Ta có \(\overline{ab}\)+ \(\overline{ba}\)
=10a+b+10b+a
=11a+11b
=11(a+b)\(⋮\)11
b)a)Ta có \(\overline{ab}\)- \(\overline{ba}\)
=(10a+b)-(10b+a)
=10a+b-10b-a
=9a-9b
=9(a-b)\(⋮\)9
1)Tìm số tự nhiên có bốn chữ số,sao cho khi nhân số đó với 4 ta được số gồm bốn chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại
2)Tìm số tự nhiên có ba chữ số,biết rằng số đó vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9,hiệu giữa số đó với số viết theo thứ tự ngược lại bằng 297
Gọi số cần tìm là abc số viết ngược lại là cba. Ta có :
abc - cba = 297
=> 100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 297
=> 99a - 99c = 297
=> a - c = 297/99 = 3.
Vì abc chia hết cho 45 => abc chia hết cho 5 và 9 => c = 5.
=> a = 3 + c = 3 + 5 = 8.
Xét số 8b5 (có gạch đầu) chia hết cho 9
=> 8+ b + 5 chia hết cho 9
=> 13 + b chia hết cho 9
=> b = 5.
Vậy số thỏa mãn đề bài cần tìm là 855.
giả sử số đó là abcd
abcd x 9 = dcba
ta có vì abcd và dcba là số có 4 chữ số
nên ta có : a.10^3 x 9 = d.10^3 => a =1 => d =9
**Xét abcd : vì a =1 => b x 9 < số có 2 chữ số => b=1 hoặc b=0
với b =1 thì 11c9 x 9 = 9c11
vì b=1 =>11c9 x 9 có c x 9 là số bé hơn 2 chữ số => c =1 hoặc c =0 => vô lý
với b = 0 thì 10c9 x 9 = 9c01 =>c = 8
=> 1089 x 9 = 9801 Gọi số cần tìm là abcd ( a # 0). Theo giả thiết: abcd *9=dbca
Nhận xét được luôn là a= 1 (vì từ 2 trở đi thì kết quả đã là số có 5 chữ số rồi nhỉ?). a=1 và nhận xét thêm là 1*9= 9 là số lớn nhất có thể của d rồi nên d=9. Vậy phép nhân b*9 không được nhớ vào phép a*9 nên b=1 hoặc b=0. Với b=1 thì lập luận c*9 rồi cộng với 8 phải có tận cùng là 1 thì c=7. Thử lại thấy 1179*9= 10611!! không hợp lý. Vậy loại b=1. Với b=0 ta lại nhận xét c*9 rồi cộng với 8 phải là số có tận cùng là 0 nên c=8. Thử lại thấy: 1089*9= 9801. Vậy đây là kết quả cần tìm Goi số cần tìm là abcd, theo đề bài ta có :
abcd
x 9
dcba
Từ trên ta suy ra : 9 nhân a hàng nghìn phải là số có 1 chữ số ở tích là d, và 9 nhân b hàng trăm không có nhớ. Từ đó ta tính được :
Vậy : a = 1, b = 0 , c = 2 , d = 9
Ta có phép tính đúng là : 1209 x 9 = 9021 vì số có 4 chữ số khi nhân 9 vẫn có 4 chữ số ---> số đầu chắc chắn phải là 1
vậy, số cuối bắt buộc phải = 9
số thứ 2 sau khi nhân 9 bắt buộc phải có 1 chữ số và ko được nhớ ---> số thứ 2 là 0
kết quả chia hết cho 9 ---> số thứ 3 phải là 9
đáp số: 1089
1. Cho biết a + 4b chia hết cho 13 ( a,b thuộc N )
CMR 10a + b chia hết cho 13.
2. Tìm STN n sao cho 18n + 3 chia hết cho 7
3. a) Tìm STN có hai chữ số, biết rằng nếu lấy số đó cộng với số gồm hai chữ của số đó viết theo thứ tự ngược lại thì tổng chia hết cho 11.
b) ....................... chia hết cho 15.
3.CMR
a,Nếu viết thêm vào đằng sau 1 số tự nhiên có 2 chữ số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì đc 1 số chia hết cho 11
b,Cũng chứng minh như trên nhưng đối với số tự nhiên có 3 chữ số
Chứng minh rằng:
a,Tổng của 1 số có 2 chữ số với 1 số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại là 1 số chia hết cho 11.
b,Tổng ab + cd chia hết cho 11 thì abcd chia hết cho 11
a ) Gọi số đó là ab . Theo đề ta có :
ab + ba = 10 . a + b + 10 . b + a = 11 . a + 11 . b = 11 ( a + b ) chia hết cho 11
Vậy ( đpcm )
b ) Theo đề ta có :
ab + cd chia hết cho 11
ab + cd + ab . 99 chia hết cho 11
ab . 100 + cd chia hết cho 11
abcd chia hết cho 11 .
Vậy ( đpcm )
CMR: Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có 2 chữ số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11
Lời giải:
Gọi số tự nhiên có 2 chữ số là $\overline{ab}$ với $a,b$ là số tự nhiên có 1 chữ số, $a\neq 0$.
Khi viết thêm đằng sau số đó chính 2 chữ số đó theo thứ tự ngược lại ta được số: $\overline{abba}$
Có:
$\overline{abba}=1000a+100b+10b+a=1001a+110b=11(91a+10b)\vdots 11$
Ta có đpcm.
1/Tìm chữ số a biết
20a20a20a chia hết cho 7
2/Tìm số tự nhiên có 3 chữ số chia hết co 45 biết rằng hiệu giữa số đó và số gồm 3 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại bằng 297.
1/ Ta có \(\overline{20a20a20a}=\overline{20a}.1001001\)
Do \(\left(1001001;7\right)=1\) nên để \(\overline{20a20a20a}⋮7\) thì \(\overline{20a}⋮7\)
\(\Leftrightarrow\left(200+a\right)⋮7\)
Do a là chữ số nên a = 3.
2. Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\)
Theo bài ra ta có \(\overline{abc}⋮45\) và \(\overline{abc}-\overline{cba}=297\)
Do \(\overline{abc}⋮45\) nên \(\overline{abc}⋮5;\overline{abc}⋮9\)
TH1: c = 0
Ta có \(\overline{ab0}-\overline{ba}=297\Leftrightarrow100a+10b-10b-a=297\)
\(\Leftrightarrow99a=297\Leftrightarrow a=3\)
Khi đó \(\overline{3b0}⋮9\Rightarrow\left(3+b\right)⋮9\Rightarrow b=6\)
Số cần tìm là 360.
TH2: c = 5
Ta có \(\overline{ab5}-\overline{5ba}=297\Leftrightarrow100a+10b+5-500-10b-a=297\)
\(\Leftrightarrow99a-495=297\Leftrightarrow a=8\)
Khi đó \(\overline{8b5}⋮9\Rightarrow\left(13+b\right)⋮9\Rightarrow b=5\)
Số cần tìm là 855.
Vậy ta tìm được hai số thỏa mãn là 360 và 855.
tìm STN có 2 chữ số,sao cho nếu cộng nó với số gồm 2 chư số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì ta được 1 số chính phương
gọi số cần tìm là ab (a, b = 1,2,..., 9)
giả thiết ta có: (ab)² - (ba)² = n² (ab và ba có gạch đầu)
<=> (10a+b)² - (10b+a)² = n² <=> [(10a+b) - (10b+a)][(10a+b) + (10b+a)] = n²
<=> (9a-9b)(11a+11b) = n² <=> 3².11.(a-b)(a+b) = n² (*)
do 11 là số nguyên tố nên (*) chỉ xãy ra khi a-b hoặc a+b có ước là 11
0 < a, b < 9 nên a+b < 22 và a-b < 9 vậy chỉ có 1 khã năng là a+b = 11
và ta còn phải có a-b là số chính phương (có thể mò vài cặp là đc) hoặc biện luận:
thấy a > b ; a+b = 11 => a = 11-b > 11/2 , chỉ cần kiểm tra cho b từ 1 đến 5
b = 1, a = 10 thỏa ; b = 5, a = 6 thỏa
vậy có 2 số thỏa mãn yêu cầu là: 11 và 65
(cái số 11 hơi kì nhưng vẫn thỏa mãn: 11² - 11² = 0² )
gọi số cần tìm là ab (a, b = 1,2,..., 9)
giả thiết ta có: (ab)² - (ba)² = n² (ab và ba có gạch đầu)
<=> (10a+b)² - (10b+a)² = n² <=> [(10a+b) - (10b+a)][(10a+b) + (10b+a)] = n²
<=> (9a-9b)(11a+11b) = n² <=> 3².11.(a-b)(a+b) = n² (*)
do 11 là số nguyên tố nên (*) chỉ xãy ra khi a-b hoặc a+b có ước là 11
0 < a, b < 9 nên a+b < 22 và a-b < 9 vậy chỉ có 1 khã năng là a+b = 11
và ta còn phải có a-b là số chính phương (có thể mò vài cặp là đc) hoặc biện luận:
thấy a > b ; a+b = 11 => a = 11-b > 11/2 , chỉ cần kiểm tra cho b từ 1 đến 5
b = 1, a = 10 thỏa ; b = 5, a = 6 thỏa
vậy có 2 số thỏa mãn yêu cầu là: 11 và 65
(cái số 11 hơi kì nhưng vẫn thỏa mãn: 11² - 11² = 0² )