Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, I lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC , AB.
a) Tính độ dài DI, AD. Biết AB = 12cm, AC = 16cm. (1 đ)
b) Gọi K là điểm đối xứng của A qua D. Chứng minh tứ giác ABKC là hình chữ nhật.
c) Gọi E là điểm đối xứng của K qua C. Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
d) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt CA tại H, gọi M là điểm đối xứng của
qua
a: Xét ΔABC vuông tại A có \(BC^2=AB^2+AC^2\)
hay BC=20(cm)
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
I là trung điểm của AB
Do đó: DI là đường trung bình
=>DI=AC/2=8(cm)
Ta có: ΔABC vuông tại A
mà AD là đường trung tuyến
nên AD=BC/2=10(cm)
b: Xét tứ giác ABKC có
D là trung điểm của BC
D là trung điểm của AK
Do dó: ABKC là hình bình hành
mà \(\widehat{BAC}=90^0\)
nên ABKC là hình chữ nhật
c: Xét tứ giác ABCE có
AB//CE
AB=CE
Do đó: ABCE là hình bình hành
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của ab ac bc. Gọi D, E lần lượt là điểm đối xứng của P qua M và N.
a, Tính AP và diện tích tam giác ABC biết AB = 6cm, AC = 8cm.
b, Chứng minh tứ giác AMPN là hình chữ nhật.
c, Chúng minh tứ giác APCE là hình thoi.
d, Tam giác ABC cần có điều kiện gì để tứ giác APCE là hình vuông?
e, Chứng minh AP, BE, CD đồng quy.
f, Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Chứng minh rằng:
a. DE//AC, DF//AB.
b. Tứ giác AEDF là hình chữ nhật.
c. Gọi M và N lần lượt là các điểm đối xứng với D qua AB và AC. Chứng minh M đối xúng với N qua A.
Để chứng minh các phần a, b và c, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và hình chữ nhật.
a. Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí trung tuyến, ta có DE là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, DE song song với cạnh AC. Tương tự, ta có DF song song với cạnh AB. Vậy DE//AC và DF//AB.
b. Ta cần chứng minh AEDF là hình chữ nhật. Đầu tiên, ta thấy DE//AC và DF//AB (theo phần a). Khi đó, ta có:
- AD = DC (vì D là trung điểm của BC)
- AE = EB (vì E là trung điểm của AB)
- AF = FC (vì F là trung điểm của AC)
Vậy ta có các cạnh đối diện của tứ giác AEDF bằng nhau, do đó AEDF là hình chữ nhật.
c. Gọi M là điểm đối xứng của D qua AB. Ta cần chứng minh M đối xứng với N qua A. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh AM = AN và góc MAN = góc NAM.
- Vì M là điểm đối xứng của D qua AB, nên ta có AM = AD.
- Vì N là điểm đối xứng của D qua AC, nên ta có AN = AD.
Do đó, ta có AM = AN.
- Ta có góc MAD = góc DAB (vì M là điểm đối xứng của D qua AB)
- Ta có góc NAD = góc DAC (vì N là điểm đối xứng của D qua AC)
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc DAB = góc DAC. Từ đó, ta có góc MAD = góc NAD.
Vậy ta có AM = AN và góc MAN = góc NAM, do đó M đối xứng với N qua A.
Vậy ta đã chứng minh được M đối xứng với N qua A.
Cho ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC.
a) Biết AB = 6cm, AM = 5cm. Tính BC, AC.
b) Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AC. Chứng minh ADME là hình chữ nhật.
c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh DHE vuông tại H.
b: Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAD}=90^0\)
Do đó: ADHE là hình chữ nhật
Cho ∆ABC vuông tại A. Biết AB = 9 cm, BC = 15 cm.
a) Tính độ dài cạnh AC ?
b) Gọi M là trung điểm BC, vẽ điểm D là điểm đối xứng của A qua M. Chứng minh tg ABDC là hình chữ nhật.
c) Kẻ điểm H là điểm đối xứng của M qua cạnh AC ( Gọi O là giao điểm của AC và MH ). Chứng minh tg AMCH là hình thoi.
cho ∆ABC ⊥ tại A. Gọi M là trung điểm BC
a) Với AB = 6cm; AC = 8cm tính BC, AM.
b) Gọi E đối xứng với A qua M. Chứng minh ABEC là hình chữ nhật.
c) Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Kẻ HI ⊥ với AB tại I, K là hình chiếu của H lên AC. Gọi O là giao điểm AH và Ik, N là hình chiếu của H lên An. Chứng minh AH = IK, NO = ½IK
d) góc INK = ?
a) Với ∆ABC ⊥ tại A và M là trung điểm BC, ta có:
- Theo định lý Pythagoras, ta có: AB^2 + AC^2 = BC^2
- Thay giá trị vào, ta có: 6^2 + 8^2 = BC^2
- Tính toán, ta có: 36 + 64 = BC^2
- Tổng cộng, BC^2 = 100
- Vì BC là độ dài, nên BC = √100 = 10cm
- Vì M là trung điểm BC, nên AM = MC = 10/2 = 5cm
b) Để chứng minh ABEC là hình chữ nhật, ta cần chứng minh AB // EC và AB = EC.
- Vì M là trung điểm BC, nên AM = MC.
- Vì ∆ABC ⊥ tại A, nên góc BAC = 90 độ.
- Vì M là trung điểm BC, nên BM = MC.
- Vì BM = MC và góc BAC = 90 độ, nên ∆BAM ≅ ∆CAM theo góc-góc-góc.
- Từ đó, ta có AB = AC và góc BAM = góc CAM.
- Vì AB = AC và góc BAM = góc CAM, nên ∆ABM ≅ ∆ACM theo cạnh-góc-cạnh.
- Từ đó, ta có góc AMB = góc AMC và BM = MC.
- Vì góc AMB = góc AMC và BM = MC, nên ∆BME ≅ ∆CME theo góc-góc-góc.
- Từ đó, ta có góc BME = góc CME và BM = MC.
- Vì góc BME = góc CME và BM = MC, nên BM // EC.
- Vì BM // EC và AB = AC, nên AB // EC và AB = EC.
- Từ đó, ta có ABEC là hình chữ nhật.
c) Để chứng minh AH = IK và NO = 1/2 IK, ta cần chứng minh ∆AHN ≅ ∆IKO.
- Vì AH ⊥ BC và IK ⊥ AB, nên góc HAN = góc KIO = 90 độ.
- Vì AH ⊥ BC và HN ⊥ AN, nên góc HAN = góc HNA.
- Vì IK ⊥ AB và KO ⊥ AO, nên góc KIO = góc KOI.
- Vì góc HAN = góc HNA và góc KIO = góc KOI, nên ∆AHN ≅ ∆IKO theo góc-góc-góc.
- Từ đó, ta có AH = IK và NO = 1/2 IK.
d) Vì ∆AHN ≅ ∆IKO, nên góc INK = góc HNO.
- Vì NO = 1/2 IK, nên góc HNO = góc INK.
- Từ đó, ta có góc INK = góc HNO.
Cho tam giác ABC vuông tại A.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC.
a) Tính độ dài MN, biết AC= 12cm
b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua N,Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật
c) Gọi I là trung điểm của AC,E là điểm đối xứng của N qua I.Chứng minh tứ giác ANCE là hình thoi
d) Đường thẳng BC cắt DM,DI lần lượt tại H,K.Chứng minh BH=CK.
Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N.
a) Tính AI.
b) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
c) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. chứng minh tứ giác ADCI là hình tho
a: BC=10cm
=>AI=5cm
b: Xét tứ giác AMIN có
góc AMI=góc ANI=góc MAN=90 độ
nên AMIN là hình chữ nhật
c: Xét ΔABC có
I là trung điểm của BC
IN//AB
Do đó: N là trung điểm của AC
Xét tứ giác ADCI có
N là trung điểm chung của AC và DI
IA=IC
Do đó: ADCI là hình thoi
Cho ∆ABC cân tại A có D; E; F lần lượt là trung điểm của AB; AC; BC
a) Chứng minh: DE là đường trung bình của ∆ABC, BDEF là hình bình hành
b) Gọi M là điểm đối xứng của F qua E. Chứng minh: AMCF là hình chữ nhật.
c) Gọi N là giao điểm của AF và DE. Chứng minh: B; N; M thẳng hàng.
a: Xét ΔABC có
D là trung điểm của AB
E là trung điểm của AC
Do đó: DE là đường trung bình
=>DE//BC và DE=BC/2
hay DE//BF và DE=BF
=>BDEF là hình bình hành
b: Xét tứ giác AMCF có
E là trung điểm của AC
E là trung điểm của MF
Do đó: AMCF là hình bình hành
mà \(\widehat{AMC}=90^0\)
nên AMCF là hình chữ nhật
