Ta có : \(a+b>1>0\) (1)

Bình phương hai vế: \(\left(a+b\right)^2>1\Rightarrow a^2+2ab+b^2>1\left(2\right)\)

Mặt khác : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(3\right)\)

Cộng từng vế của (2) và (3): \(2\left(a^2+b^2\right)>1\Rightarrow a^2+b^2>\dfrac{1}{2}\left(4\right)\)

Bình phương hai vế của (4) : \(a^4+2a^2b^2+b^4>\dfrac{1}{4}\left(5\right)\)

Mặt khác \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Rightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\left(6\right)\)

cộng từng vế của (5) và (6) : \(2\left(a^4+b^4\right)>\dfrac{1}{4}\Rightarrow a^4+b^4>\dfrac{1}{8}\)(đpcm)

Cm được x² +y² ≥ (x+y)²/2

<=> x² +y² ≥ 1/2(x² +y²) + xy

<=> 1/2(x² +y²) -xy ≥ 0

<=> 1/2(x-y)² ≥ 0 ( luôn đúng )

vậy x² + y² ≥ (x+y)²/2 = 1/2

tương tự thì x^4 + y^4 ≥ (x² +y²)²/2 ≥ (1/2)²/2 = 1/8

vậy x^4 + y^4 ≥ 1/8

dấu = xảy ra <=> x=y=1/2

ta có: a+b=1 => (a+b)²=1

a²+2ab+b²=1 (1)

Mặt khác: (a-b)²\(\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\) (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế:

2(a²+b²) > 1

a²+b²> \(\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4>\dfrac{1}{4}\) (3)

\(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\) (4)

cộng (3) và (4) vế theo vế:

2(a⁴+b⁴) >\(\dfrac{1}{4}\)

=> \(a^4+b^4>\dfrac{1}{8}\left(đpcm\right)\)

Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)mà a+b=1

\(\Rightarrow ab< \dfrac{1}{4}\Rightarrow a^2b^2< \dfrac{1}{16}\)

Mặt khác \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4>2.\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{8}\)

nhớ tick cho mik nhé

Ta có : \(a^2+b^2+2ab>1\)

Lại có \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

Cộng hai vế bđt trên được \(2\left(a^2+b^2\right)>1\Rightarrow a^2+b^2>\frac{1}{2}\)

\(a^4+2a^2b^2+b^4>\frac{1}{4}\)

Lại có : \(a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\)

Cộng hai vế bđt trên được \(2\left(a^4+b^4\right)>\frac{1}{4}\Rightarrow a^4+b^4>\frac{1}{8}\)

Tương tự ta được:

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab,a+b=1\)

\(\Rightarrow ab< \frac{1}{4}\Rightarrow a^2b^2< \frac{1}{16}\)

Mặt khác \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\Rightarrow a^4+b^4>2.\frac{1}{16}=\frac{1}{8}\)

Ta dễ dàng chứng minh được :

\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(b^2+b^2\right)+ab\)

\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Tương tự thì:

\(a^4+b^2\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{8}\)

Vậy: \(a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2

Ta có: \(a^4+2a^2b^2+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2\)

Và: \(a^4-2a^2b^2+b^4=\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)

Và: \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\left(đpcm\right)\)

Ta có \(a+b=1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=1\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=1\left(1\right)\)

Lại có \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(2\right)\)

Cộng từng vế (1) và (2) ta được : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4\ge\frac{1}{4}\left(3\right)\)

Mặt khác: \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\left(4\right)\)

Cộng từng vế (3) và (4) ta được

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)

Bđt được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

ta có \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)   mà \(a+b=1\)

=>\(ab

tick cho mình cái mình trả lời rồi mà.