Cho phương trình \(x^2-\left(k+3\right)x+2k+1=0\) có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. Tìm một hệ thức giữa $x_1$ và $x_2$ độc lập với $k$.
Định m để phương trình \(\left(m-2\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3=0,\left(m\ne2\right)\) có nghiệm \(x_1;x_2\), và thiết lập hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m.
Ta có Δ=[-2(m-1)]^2-4.(m-3)=(2m-2)^2-4m+12
=4m^2-8m+4-4m+12=4m^2-12m+16
=4(m^2-3m+4)=4.[m^2-2.3/2+(3/2)^2-(3/2)^2+4]
=4.[(m-3/2)^2+7/4]>0(với mọi m)=>Δ>0
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
=> x1=[2m-2+2.√(m-3)^2+7/4]/2(m-2)=[m-1+√(m-3)^2+7/4]/(m-2)
x2=[m-1-√(m-3)^2+7/4]/(m-2)
Để pt có 2 nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m-2\right)\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\3m\ge5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m\ge\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m-2}{m-2}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m-2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m-2}{m-2}\\2x_1x_2=\dfrac{2m-6}{m-2}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế: \(x_1+x_2+2x_1x_2=\dfrac{4m-8}{m-2}=\dfrac{4\left(m-2\right)}{m-2}\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2+2x_1x_2=4\)
Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm độc lập m
theo vi ét có x1+x2=(2m-2)/(m-2)(1)
x1.x2=(m-3)/(m-2)(2)
từ (2) =>x1x2(m-2)=m-3<=>x1.x2.m-2.x1.x2=m-3
<=>x1.x2.m-m=-3+2.x1.x2<=>m(x1.x2-1)=-3+2.x1.x2<=>m=(-3+2.x1.x2)/(x1.x2-1)(3)
thay m(3) vào pt (1) tự rút gọn n hé dài quá
Bài 1: Cho phương trình \(^{x^2-2\left(k-1\right)x+2k-5=0}\)
a) Giải phương trình với k = 1
b) Tìm k để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức \(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=\sqrt{14}\)
Bài 2: Cho phương trình \(x^2-5x+m=0\)(m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 4
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|=3\)
Cho phương trình \(mx^2+\left(m-2\right)x+3=0\) .
Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thì giữa hai nghiệm này có một hệ thức độc lập với m.
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-3=0\)
a, Tìm m để hai nghiệm \(x_1,x_2\) của phương trình thỏa mãn đẳng thức \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{1}{x_1x_2}=3\)
\(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m^2-3\right)\)
\(=4m^2+8m+4-4m^2+12=8m+16\)
Để phương trình có hai nghiệm thì 8m+16>=0
hay m>=-2
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)
Theo đề, ta có: \(x_1^2+x_2^2+1=3x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-5\left(m^2-3\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4-5m^2+15+1=0\)
\(\Leftrightarrow-m^2+8m+20=0\)
=>(m-10)(m+2)=0
=>m=10 hoặc m=-2
a, \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2-3\right)=m^2+2m+1-m^2+3=2m+4\)
Để pt có 2 nghiệm x1 ; x2 khi \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow m\ge-2\)
Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{1}{x_1x_2}=3\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+1}{x_1x_2}=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(m^2+2m+1\right)-2\left(m^2-3\right)+1}{m^2-3}=3\)
\(\Rightarrow2m^2+8m+11=3m^2-9\Leftrightarrow m^2-8m-20=0\Leftrightarrow m=10;m=-2\)(tm)
Cho phương trình \(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m=0\)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(-2< x_1< x_2< 2\)
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không chứa m
Gọi \(x_1;x_2\)là hai nghiệm của phương trình : \(x^2-2kx-\left(k-1\right)\left(k-3\right)=0\).Khi đó \(\frac{1}{4}\left(x_1+x_2\right)^2+x_1.x_2-2\left(x_1-x_2\right)=....\)
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-3=0\)
Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn hệ thức \(x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=14\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2-3\right)=2m+4>0\Rightarrow m>-2\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=14\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=14\)
\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2+m^2-3=14\)
\(\Leftrightarrow5m^2+8m-13=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-\dfrac{13}{5}< -2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì Δ'>0
Δ'= [-(m+1)]2-1*(m2-3)>0
= m2+2m+1-m2+3>0
= 2m+4 >0
↔ 2m>-4
↔ m>-2
áp dụng hệ thức vi-ét ta có :
[x1+x2=2(m+1)=2m+2
[x1x2=m2-3
ta lại có: x12+x22+3x1x2 =14
<=> (x1+x2)2+x1x2=14
<=> (2m+2)2 +(m2-3)=14
<=> 4m2+8m+4+m2-3-14=0
<=> 5m2+8m-17=0
Δ'=42-5(-17)
=101
Tìm m để phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m=0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn:
a \(x_1+x_2=x_1x_2\)
b \(3\left(x_1+x_2\right)-2x_1.x_2=1\)
\(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-\left(m^2+m\right)=m^2+2m+1-m^2-m\)
\(=m+1\)
pt có nghiệm x1,x2 \(< =>m+1\ge0< =>m\ge-1\)
vi ét \(=>\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m+2\\x1x2=m^2+m\end{matrix}\right.\)
a,\(=>2m+2=m^2+m< =>m^2-m-2=0\)
\(a-b+c=0=>\left[{}\begin{matrix}m1=-1\\m2=2\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)
b,\(< =>3\left(2m+2\right)-2\left(m^2+m\right)-1=0\)
\(< =>-2m^2+4m+5=0\)
\(ac< 0\) pt có 2 nghiệm pbiet \(=>\left[{}\begin{matrix}m1=...\\m2=...\end{matrix}\right.\) thay số vào tính m1,m2 đối chiếu đk
cho phương trình \(x^2-2\left(m-1\right)x+m-5=0\)
1giải phương trình đã cho với m=2
2 tìm m để phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\).tìm m để biểu thức \(P=\left|x_1-x_2\right|\)đạt giá trị nhỏ nhất
1.Thế `m=2` vào pt, ta được:
\(x^2-2\left(2-1\right)x+2-5=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\) ( Vi-ét )
2.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m-5\end{matrix}\right.\)
\(P=\left|x_1-x_2\right|\)
\(\Leftrightarrow P^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow P^2=\left[2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m-5\right)\)
\(\Leftrightarrow P^2=4\left(m-1\right)^2-4\left(m-5\right)\)
\(\Leftrightarrow P^2=4m^2-8m+4-4m+20\)
\(\Leftrightarrow P^2=4m^2-12m+24\)
\(\Leftrightarrow P^2=\left(2m-3\right)^2+15\)
\(P^2\ge15\)
mà \(P\ge0\)
\(\Rightarrow Min_P=\sqrt{15}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(2m-3=0\) \(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)
Vậy \(Min_P=\sqrt{15}\) khi \(m=\dfrac{3}{2}\)
\(x^2-2(m-1)x+m-5=0\ \ (1) \\1)Thay\ m=2\ vào\ (1)\ ta\ có: \\x^2-2(2-1)x+2-5=0 \\<=>x^2-2x-3=0<=>(x+1)(x-3)=0<=>x=-1\ hoặc\ x=3 \\2)\triangle'=[-(m-1)]^2-1.(m-5)=m^2-3m+6>0\ với\ mọi\ m \\->Phương\ trình\ (1)\ luôn\ có\ 2\ nghiệm\ phân\ biệt\ với\ mọi\ m. \\Theo\ hệ\ thức\ Vi-ét\ ta\ có: \\x_1+x_2=2(m-1);x_1x_2=m-5 \)
\(Ta\ có: P^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 \\=[2(m-1)]^2-4(m-5)=4(m-\dfrac{3}{2})^2+15\ge15 \\->P\ge\sqrt{15} \\Đẳng\ thức\ xảy\ ra\ khi\ m=\dfrac{3}{2}. \\Vậy\ P\ nhỏ\ nhất\ bằng\ \sqrt{15}\ (khi\ m=\dfrac{3}{2}).\)