\(\dfrac{2+3}{x}hay2+\dfrac{3}{x}\)  vậy

biểu thức trên nguyên khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+7}=m\\\sqrt{x^3+9}=n\end{cases}\text{ với m,n là các số tự nhiên}}\)

hay ta có : \(\hept{\begin{cases}m^2-x^2=7\\n^2-x^3=9\end{cases}}\Rightarrow\left(m-x\right)\left(m+x\right)=7\Rightarrow\hept{\begin{cases}m+x=7\\m-x=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=4\\x=3\end{cases}}\)

thay x=3 thỏa mãn đề bài vậy x=3 là giá trị nguyên của x t/m

mình quên mất một ý nhỏ 

còn trường hợp khác là :\(\hept{\begin{cases}m+x=1\\m-x=7\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=4\\x=-3\end{cases}}}\) trường hợp này loại do điều kiện tồn tại của căn

dạ em cảm ơn nhiều lắm lắm huhu

Đặt \(y=\sqrt{x^2+7}+\sqrt{x^3+9}\)

\(\Leftrightarrow y-\sqrt{x^2+7}=\sqrt{x^3+9}\)

\(\Leftrightarrow\left(y-\sqrt{x^2+7}\right)^2=x^3+9\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y\sqrt{x^2+7}+x^2+7=x^3+9\)

\(\Leftrightarrow y^2+x^2-x^3-2=2y\sqrt{x^2+7}\)

Ta thấy VT là số nguyên nên VP cũng phải là số nguyên

\(\Rightarrow x^2+7\)phải là số chính phương

Đặt \(x^2+7=z^2\)với z là số nguyên dương và z > x

\(\Leftrightarrow\left(z+x\right)\left(z-x\right)=7\)

Tới đây làm nốt nha

(x,y)=(1:2)

Không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\ge y\)

Ta có:

\(x^2< x^2+8y\le x^2+8x< x^2+8x+16=\left(x+4\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+8y=\left(x+1\right)^2or\left(x+2\right)^2or\left(x+3\right)^2\)

PS: Vì e là CTV nên a chỉ gợi ý thôi nha. Phần còn lại e thử tự nghĩ xem sao nhé. A giải quyết cho e phần khó nhất rồi đấy :)

Anh Alibaba Nguyễn, giải tìm x ntn vậy, em mới tìm được y thôi

Lời giải:

Với $x,y$ là số nguyên dương thì $|x-2y+1|, |x+4y+3|$ là số nguyên dương. Mà $|x-2y+1|.|x+4y+3|=20$ nên $|x-2y+1|, |x+4y+3|$ là ước nguyên dương của 20.

$(x-2y+1)+(x+4y+3)=2x+2y+4$ chẵn nên $|x-2y+1|, |x+4y+3|$ cùng tính chẵn lẻ.

Do đó xảy ra các TH sau

TH1: $|x-2y+1|=2, |x+4y+3|=10$

$\Rightarrow x-2y+1=\pm 2; x+4y+3=\pm 10$

Nếu $x-2y+1=2, x+4y+3=10$

$\Rightarrow x=1+2y, x=7-4y$

$\Rightarrow 1+2y=7-4y\Rightarrow y=1\Rightarrow x=3$

Nếu $x-2y+1=-2, x+4y+3=10$

$\Rightarrow x=-3+2y, x=7-4y$

$\Rightarrow -3+2y=7-4y\Rightarrow y=\frac{2}{3}$ (không tm)

Nếu $x-2y+1=2, x+4y+3=-10$

Nếu $x-2y+1=-2, x+3y+3=-10$

Bạn tính toán tương tự

TH2: $|x-2y+1|=10, |x+4y+3|=2$

Bạn tính toán tương tự.