Cho đa thức f ( x ) = x2 + px + q với \(p\in Z,q\in Z\) . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f ( k ) = f ( 2008 ) . f ( 2009 ) .
Cho đa thức f(x)=x2+px+q với p;q thuộc Z. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f(k)=f(2008).f(2009).
Ta có: \(f\left(x\right)=x^2+px+q\)
\(\Rightarrow f\left(f\left(x\right)+x\right)=\left(f\left(x\right)+x\right)^2+p\left(f\left(x\right)+x\right)+q\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+x^2+p.f\left(x\right)+p.x+q\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+\left(x^2+p.x+q\right)\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+f\left(x\right)\)
\(=f\left(x\right).\left(f\left(x\right)+2x+p+1\right)=f\left(x\right).\left(x^2+px+q+2x+p+1\right)\)
\(=f\left(x\right).\left(\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)p+q\right)=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)
Vậy tồn tại số nguyên k để f(k) = f(2008).f(2009) ( Chọn x = 2018 thì \(k=f\left(2018\right)+2018\))
Cho đa thức \(f(x)\) = \(x^2+px+q\) với p ∈ Z , q ∈ Z. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f(k) = \(f(2008).f(2009)\)
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Cho đa thức f (x) = x2 + px + q với p , q Z. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f (k) = f (2008).f (2009)
Help me !
Ta có :
\(f\left(f\left(x\right)+x\right)=\left(f\left(x\right)+x\right)^2+p\left(f\left(x\right)+x\right)+q.\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+x^2+p.f\left(x\right)+px+q\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+f\left(x\right)\)
\(=f\left(x\right)\left(f\left(x\right)+2x+p+1\right)\)
\(=f\left(x\right)\left[\left(x^2+2x+1\right)+\left(px+p\right)+q\right]\)
\(=f\left(x\right)\left[\left(x+1\right)^2+p\left(x+1\right)+q\right]\)
\(=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)
Từ đây thì ta thấy được nếu :
\(k=f\left(2008\right)+2008\) thì
\(\Leftrightarrow f\left(k\right)=f\left(f\left(2008\right)+2008\right)\)
\(\Leftrightarrow f\left(k\right)=f\left(2008\right)\times f\left(2009\right)\)
Câu hỏi của nguyễn thu ngà - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Cho đa thức \(f\left(x\right)=x^2+px+q\) với \(p\in Z,q\in Z\).Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để \(f\left(k\right)=f\left(2015\right).f\left(2016\right)\)
Cho đa thức f(x) = x2 + px + q với p , q Z. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f(x) = f(2008).f(2009)
Cho đa thức \(f\left(x\right)=x^2+mx+n\) với \(m,n\in Z\). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để \(f\left(k\right)=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\)
Xét \(f\left[f\left(x\right)+x\right]=\left[f\left(x\right)+x\right]^2+m\left[f\left(x\right)+x\right]+n\)
\(=\left(x^2+mx+n+x\right)^2+m\left(x^2+mx+n+x\right)+n\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+x^2+m\left(x^2+mx+n\right)+mx+n\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+m\left(x^2+mx+n\right)+\left(x^2+mx+n\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+mx+n+2x+m+1\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x+1\right)^2+m\left(x+1\right)+n\right]\)
\(=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)
Thay \(x=2021\)
\(\Rightarrow f\left[f\left(2021\right)+2021\right]=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\)
Đặt \(f\left(2021\right)+2021=k\)
Do \(f\left(x\right)\) có hệ số m;n nguyên \(\Rightarrow k\) nguyên
\(\Rightarrow f\left(k\right)=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\) với k nguyên
Hay tồn tại số nguyên k thỏa mãn yêu cầu
a) Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 tìm giá trị lớn nhất cuarB=xy+yz+zx
b)đa thức f(x) = x2+px+q với \(p\in Z,q\in Z\)Cmr tồn tại số nguyên k để f(k)= f(2008).f(2009)
c)tìm 3 số nguyên dương x,y thỏa mãn 3xy+x+15y - 44=0
d)Cho số tự nhiên a=(29)2009 , b là tổng các chữ số của b, d là tổng các chữ số của c. tính d
e)Cho pt ẩn x \(\frac{2x-m}{x-2}+\frac{x-1}{x+2}=3\)Tìm m để pt có nghiệm dương
1. cho các số thực dương x,y,z t/mãn: x2 + y2 + z2 = 1
Cmr: \(\frac{x}{y^2+z^2}\) + \(\frac{y}{x^2+z^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\ge\) \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
2. Cho x,y thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}xy\ge0\\x^2+y^2=1\end{cases}}\)
Tìm GTNN,GTLN của \(S=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\)
3. Cho \(\hept{\begin{cases}xy\ne0\\xy\left(x+y\right)=x^2+y^2-xy\end{cases}}\)
Tìm GTLN của \(A=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\)
4. Cho tam giác ABC; đường thẳng đi qua trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I vuông góc với đường phân giác trong của góc C. Gọi a,b,c là độ dài 3 canh tương ứng với 3 đỉnh A,B,C.
Cmr: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{2}{c}\)
ui má. đúng mấy bài tập thầy tui cho ôn. giờ đang loay hoay
cho đa thức f(x)= x2+bx+c (b và c là các số nguyên)
chưng minh tồn tại số nguyên k để f(k)=f(2007).f(2008)
Lời giải:
$f(x)=x^2+ax+b$
$f(f(x)+x)=[f(x)+x]^2+a[f(x)+x]+b$
$=f(x)^2+x^2+2xf(x)+af(x)+ax+b$
$=f(x)^2+2xf(x)+af(x)+f(x)$
$=f(x)[f(x)+2x+a+1]$
$=f(x)(x^2+ax+b+2x+a+1)$
$=f(x)[(x+1)^2+a(x+1)+b]=f(x)f(x+1)$
Thay $x=2019$ vô thì:
$f(f(2019)+2019)=f(2019).f(2020)$. Do đó tồn tại số $k=f(2019)+2019\in\mathbb{Z}$ thỏa mãn đkđb.
Ta có đpcm.