Giải:

Với m=2 thì m2+2=4+2= 6 là hợp số (loại)

Với m=3 thì m2+2 = 9+2= 11 (thoải mãn)

Với m= 3k+1 ( với k ẻ N) thì: m2+2 = (3k+1)2 +2 = 3(3k2+2k+1) là hợp số ( loại)

Với m= 3k+2 thì: m2+2= (3k+2)2 +2 = 3(3k2+4k+2) là hợp số (loại)

Vậy với m= 3 thì m và m2+2 là số nguyên tố. Khi đó m3+ 2= 33+2 = 29 là số nguyên tố.

TH1: p=3k+1

=>p+2=3k+3(loại)

=>p=3k+2 và p là số lẻ

p+1=3k+3=3(k+1) chia hết cho 3

p là số lẻ

=>p+1 chia hết cho 2

=>p+1 chia hết cho 6

\(+,p=2\Rightarrow p^2+2=4\left(\text{vô lí}\right)\)

\(+,p=3\Rightarrow p^2+2=11;p^3+2=29\left(\text{là các số nguyên tố}\right)\)

\(+,p>3\Rightarrow p=3k+1\text{ hoặc }3k+2\left(k\text{ nguyên dương}\right)\Rightarrow p^2\text{ chia 3 dư 1}\Rightarrow p^2+2\text{ chia hết cho 3};>3\)

\(\left(vôli\right)\)

Ta có đpcm

Nếu p>3 mà p là số nguyên tố nên p ko chia hết cho 3

\(\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow p^2+2\equiv0\left(mod3\right)\)

Mà \(p^2+2>3\)nên \(p^2+2\)là hợp số(Trái với giả thiết)

Do đó \(p\le3\)mà p là số nguyên tố nên \(p\in\left\{2;3\right\}\)

Với p=2 thì \(p^2+2=2^2+2=6\)là hợp số (Trái với giả thiết)

Vậy p=3 suy ra\(p^3+2=3^3+2=29\)là số nguyên tố(đpcm)

mình chỉ biết bài 4 thôi
Bài 4: Vì tổng bằng 1012 nên trong 3 số nguyên tố đó thì phải có 1 số nguyên tố là số chẵn. Nên số chẵn đó là 2 đồng thời là số nhỏ nhất. Vậy số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó