bạn vẽ hộ hình được không

\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=2a\)

\(\dfrac{V_{SAHM}}{V_{SABC}}=\dfrac{SH}{SB}.\dfrac{SM}{SC}=\left(\dfrac{SA}{SB}\right)^2.\dfrac{SM}{SC}=\left(\dfrac{a}{2a}\right)^2.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\)

Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)

\(SD\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SD\perp AB\) , mà \(AB\perp SA\left(gt\right)\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp AD\)

\(\Rightarrow AD||BC\)

Tương tự ta có: \(BC\perp\left(SCD\right)\Rightarrow BC\perp CD\Rightarrow CD||AB\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABCD là hình vuông

\(\Rightarrow BD=a\sqrt{2}\)

\(SD=\sqrt{SB^2-BD^2}=a\sqrt{2}\)

Gọi P là trung điểm AD \(\Rightarrow MP\) là đường trung bình tam giác SAD

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MP=\dfrac{1}{2}SD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\\MP||SD\Rightarrow MP\perp\left(ABC\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\alpha=\widehat{MNP}\)

\(cos\alpha=\dfrac{NP}{MN}=\dfrac{NP}{\sqrt{NP^2+MP^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)

Đáp án B

Dựng hình bình hành AKCI khi đó   S C ; A I ⏜ = S C ; C K ⏜

Ta có:   A B = C K = A B 2 + B C 2 2 = a 6 2

  S K = S A 2 + A K 2 = S A 2 + C I 2 = a 6 2

Khi đó   cos S C K ⏜ = S C 2 + C K 2 − S K 2 2 S C . C K = 2 3 > 0 Do đó  c os S C ; A I ⏜ = 2 3

Ta có {BC⊥ABAB⊥SC⇒AB⊥CE{BC⊥ABAB⊥SC⇒AB⊥CE

Khi đó {CE⊥ABCE⊥SA⇒CE⊥(SAB){CE⊥ABCE⊥SA⇒CE⊥(SAB)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: SC2=SE.SB⇒SESB=SC2SB2SC2=SE.SB⇒SESB=SC2SB2, tương tự SDSE=SC2SA2SDSE=SC2SA2

Lại cả CA=AC√2=2a;VS.ABC=13SC.SABC=23a3CA=AC2=2a;VS.ABC=13SC.SABC=23a3

Khi đó VS.CDEVS.ABC=SESBSDSA=SC2SB2.SC2SA2=4648=13VS.CDEVS.ABC=SESBSDSA=SC2SB2.SC2SA2=4648=13

Do đó VS.CDE=13.23a3=2a39VS.CDE=13.23a3=2a39.

Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$ là hình vuông.

Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp (SAD)$

$\Rightarrow AB\perp SD$.

Lại có $BC\perp CD$ và $SC\perp BC\Rightarrow BC\perp (SDC)$

$\Rightarrow BC\perp SD.$

Vậy $SD\perp (ABCD)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow MH\perp (ABCD)$.

$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $(ABCD)$.

$\Rightarrow$ Góc giữa $MN$ với $(ABC)$ là \alpha = \widehat{MNH}α=MNH.

Xét tam giác vuông $MNH$ có \cos \alpha = \dfrac{HN}{MN} = \dfrac{HN}{\sqrt{HN^2 + MH^2}} = \dfrac{\sqrt6}{3}cosα=MNHN​=HN2+MH2​HN​=36​​.

Đáp án: A.

Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm của SB

⇒ IH song song với SC.

Do đó SC//(AHI)

Ta có A I = A B 2 + B I 2 = a 6 2

và  I H = S C 2 = S A 2 + A C 2 2 = a

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHI, có

a.

Do \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp SB\)

b.

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=1\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\)