Xét (O) có

\(\widehat{AEB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{AEB}=90^0\)

Xét tứ giác BEFI có 

\(\widehat{BEF}+\widehat{FIB}=180^0\)

nên BEFI là tứ giác nội tiếp

hay B,E,F,I cùng thuộc 1 đường tròn

a) \(\Delta ABE\)nội tiếp đường tròn đường kính \(AB\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABE\perp E\)

\(\Rightarrow\)\(AEB\lambda=90\)độ

Tứ giác\(BEFI\)nội tiếp đường tròn đường kính \(FB\)

 có cách này nè:

vẽ nữa (O) kia. vẽ đường kính COK.gọi giao điểm của EM vs CK là F. ta có: tam giác CEK nội tiếp (O), có CK là đường kính => tam giác CEK vuông tại E, có đường cao EF =>  = CF.CK(1)

 ta có: tam giác CMF Đồng dạng với tam giác COH(g.g) => CM/ OC = CF/CH \(\Rightarrow\)CH/CK = CF/CH \(\Rightarrow\)CH²  = CK.CF (2) => từ (1);(2)=> CE=CH. mà ta dễ dàng c/m được CE=CD. vậy CH = CD, nên H  thuộc (O;CD). mà CH vuông góc với AB. => dpcm

ỦNG HỘ NHA MK TRẢ LỜI ĐẦU ĐÓ!!!

a: Xét (O) có

EA,EC là tiếp tuyến

Do đó: EA=EC

=>E nằm trên đường trung trực của AC(1)

Ta có: OA=OC

=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OE là đường trung trực của AC

=>OE\(\perp\)AC tại trung điểm của AC

b: Xét tứ giác NCMA có

\(\widehat{CNA}=\widehat{CMA}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>NCMA là hình chữ nhật

=>NM cắt CA tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của NM

nên I là trung điểm của CA

Ta có: OE vuông góc AC tại trung điểm của AC(cmt)

mà I là trung điểm của AC

nên OE\(\perp\)AC tại I

=>O,I,E thẳng hàng

c: Gọi giao điểm của CB với AN là F

Ta có: CM\(\perp\)AB

FA\(\perp\)AB

Do đó: CM//FA

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại C

=>AC\(\perp\)BC tại C

=>AC\(\perp\)FB tại C

=>ΔACF vuông tại C

Xét ΔEAC có EA=EC

nên ΔEAC cân tại E

=>\(\widehat{EAC}=\widehat{ECA}\)

Ta có: \(\widehat{EAC}+\widehat{EFC}=90^0\)(ΔACF vuông tại C)

\(\widehat{ECA}+\widehat{ECF}=\widehat{ACF}=90^0\)

mà \(\widehat{EAC}=\widehat{ECA}\)

nên \(\widehat{EFC}=\widehat{ECF}\)

=>EF=EC

mà EA=EC

nên EF=EA(3)

Xét ΔEAB có KM//AE

nên \(\dfrac{KM}{AE}=\dfrac{BK}{BE}\left(4\right)\)

Xét ΔBFE có CK//FE

nên \(\dfrac{CK}{FE}=\dfrac{BK}{BE}\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra \(\dfrac{KM}{AE}=\dfrac{CK}{FE}\)

mà AE=FE

nên KM=CK

=>K là trung điểm của CM