Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

Xét ∆ EOM và  ∆ FON có: ∠ (MEO) =  ∠ (NFO) (so le trong do DE//BF)

OE = OF (tính chất hình bình hành)

∠ (MOE)=  ∠ (NOF) (đối đỉnh )

Suy ra:  ∆ EOM =  ∆ FON (g.c.g) ⇒ OM = ON

Vậy tứ giác EMFN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

+) Ta có:

AE = 1/2 AB; CF = 1/2. CD ( vì E và F lần lượt là trung điểm của AB, CD).

Và AB = CD (tính chất hình bình hành)

Suy ra: AE = CF

+) Lại có: AB // CD ( vì ABCD là hình bình hành) nên AE //CF

Tứ giác AECF có hai cạnh đối AE, CF song song và bằng nhau nên là hình bình hành

⇒ AF //CE hay EN // FM (1)

Xét tứ giác BFDE ta có:

AB // CD (gt) hay BE // DF

BE = 1/2 AB (gt)

DF = 1/2 CD (gt)

AB = CD (tính chất hình bình hành)

Suy ra: BE = DF

Tứ giác BFDE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ BF//DE hay EM // FN (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành (theo định nghĩa hình bình hành)

do ABCD là hình bình hành

=>AD//BC

=>\(\widehat{DAC}=\widehat{BCA}\)(so le)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta CBF\) có:

AD=BC( do ABCD là hình bình hành)

\(\widehat{DAC}=\widehat{BCA}\)(cmt)

AE=CF(gt)

=>\(\Delta ADE\)=\(\Delta CBF\)(c.g.c)

=>\(\widehat{AED}=\widehat{CFB}\)

Ta có:

\(\widehat{AED}=\widehat{NEC}(đối dỉnh) \)

\(\widehat{BFC}=\widehat{AFM}(đối đỉnh)\)

=>\(\widehat{NEC}=\widehat{AFM}\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

=>DN//MB

=>EN//BF(1)

Lại có:

AE=EF(2)

=>AN=NB=> N là trung điểm của AB

MB//DN=>MF//DE(3)

Lại có: CF=EF(4)

Từ (3),(4)

=>CM=MD

=> M là trung điểm của CD