\(5n^3-9n^2+15n-27=0\)

\(=\left(5n-9\right)\left(n^2+3\right)\)Vì \(n^2+3>1\)Nên \(5n-9=1\)( vì nếu là số nguyên tố thì chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó )

Vậy 5n = 10 => n = 2 

Với n = 2 ta có :

\(5n^3-9n^2+15n-27=7\)( nhận )

Nếu không tin bạn cứ tra bảng số nguyên tố đảm bảo có số 7 

nếu n lẻ thì các số  n+3; n+5;... là hợp số

n chẵn: n =0 thì n +1 không là số nguyên tố

n= 2 thì n +7 là hợp số

n=4 thì thoả mãn

n là số 4

vì 4+1=5 là số nguyên tố

4+3=7 là số nguyên tố

4+7=11 là số nguyên tố

4+9=13 là số nguyên tố

4+13=17 là số nguyên tố

4+15=19 là số nguyên tố.

n là số 4

vì 4+1=5 là số nguyên tố

4+3=7 là số nguyên tố

4+7=11 là số nguyên tố

4+9=13 là số nguyên tố

4+13=17 là số nguyên tố

4+15=19 là số nguyên tố.

b, Gọi d =  ƯCLN(4n+3;2n+3)

=> (4n+3) ⋮ d; 2(2n+3) ⋮ d

=> [(4n+6) – (4n+3)] ⋮ d

=> 3 ⋮ d => d = {1;3}

Nếu d = 3 thì (4n+3) ⋮ 3 => [3(n+1)+n] ⋮ 3 => n ⋮ 3 => n = 3k

Vậy để 4n+3 và 2n+3 nguyên tố cùng nhau thì n ≠ 3k

Gọi a bằng ƯC [ m, mn + 8 ].

Ta có : m chia hết cho a [ m là lẻ suy ra a cũng là lẻ ].

Suy ra : mn chia hết cho a.

Từ đó , ta lại có: mn + 8 chia hết cho a và mn + - mn chia hết cho a.

Từ đó, ta thấy 8 sẽ chia hết cho a

=> a thuộc Ư [8]= {1,2,4,8}

Vì a là lẻ nên a = 1;Ư[mn,mn+8] = 1.

Và vì thế ta biết được m và mn + 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Gọi \(d=ƯCLN\left(m,m.n+8\right)\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}m⋮d\\m.n+8⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m.n⋮d\\m.n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(m.n+8\right)-\left(m.n\right)⋮d\Rightarrow8⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;2;4;8\right\}\) ; Mà m là số lẻ \(\Rightarrow d=1\RightarrowƯCLN\left(m,m.n+8\right)=1\)

Vậy ...