a: Xét ΔABM và ΔANM có

AB=AN

\(\widehat{BAM}=\widehat{NAM}\)

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔANM

b: Xét ΔBMI và ΔNMC có 

\(\widehat{BMI}=\widehat{NMC}\)

MB=MN

\(\widehat{MBI}=\widehat{MNC}\)

Do đó; ΔBMI=ΔNMC

Suy ra: BI=NC

Ta có: AB+BI=AI

AN+NC=AC

mà AB=AN

và BI=NC

nên AI=AC

hay ΔAIC cân tại A

c: Xét ΔABC có AM là phân giác

nên BM/AB=CM/AC

mà AB<AC

nên BM<CM

a) Ta có: AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)

HK⊥AC(Gt)

Do đó: AB//HK(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

b)Xét ΔAKH vuông tại H và ΔAIH vuông tại H có 

KH=IH(gt)

AH chung

Do đó: ΔAKH=ΔAIH(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: AK=AI(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔAKI có AK=AI(cmt)

nên ΔAKI cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

c) Vì AB//HK=> góc BAK=góc AKI(so le trong) 

  góc BAK=góc AKI

 mà góc AKI=góc AIK(cmt)                

 d) Vì HC vuông góc với KI, KH=HI( GT) =>HC là trung trực=> KC=CI( t/c đường trung trực 

tam giác AKC = tam giác AIC(c.c.c)

Bài 1: 

a: Xét ΔABM và ΔANM có

AB=AN

\(\widehat{BAM}=\widehat{NAM}\)

AM chung

DO đó: ΔABM=ΔANM

Suy ra: MB=MN và \(\widehat{ABM}=\widehat{ANM}\)

=>\(\widehat{MBK}=\widehat{MNC}\)

b: Xét ΔMBK và ΔMNC có 

\(\widehat{MBK}=\widehat{MNC}\)

MB=MN

\(\widehat{BMK}=\widehat{NMC}\)

Do đó:ΔMBK=ΔMNC

c: Ta có: ΔAKC cân tại A

mà AM là phân giác

nên AM là đường cao

a: Xét ΔABM và ΔACM có

AB=AC

AM chung

BM=CM

Do đó: ΔABM=ΔACM

Suy ra: AM là tia phân giác của góc BAC

Xét Δ ABM và Δ ACM có:

AB = AC (gt)

AM là cạnh chung

Góc BAM = góc CAM (AM là tia phân giác góc BAC)

⇒ Δ ABM = Δ ACM (c_g_c)

\(a,\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\\AM\text{ chung}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta BAM=\Delta CAM\left(c.g.c\right)\\ b,\Delta BAM=\Delta CAM\\ \Rightarrow MB=MC\\ \Rightarrow M\text{ là trung điểm }BC\\ c,\Delta BAM=\Delta CAM\\ \Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\\ \text{Mà }\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\\ \Rightarrow\widehat{AMB}=90^0\\ \Rightarrow AM\bot BC\)

xét ΔABM và ΔANM, ta có : 

AB = AN (gt)

\(\widehat{MAB}=\widehat{MAN}\) (vì AM là tia phân giác của \(\widehat{A}\))

AM là cạnh chung

→ ΔABM = ΔANM (c.g.c)

a: Xét ΔABM và ΔANM co

AB=AN

góc BAM=góc NAM

AM chung

=>ΔABM=ΔANM

b: ΔABM=ΔANM

=>góc ABM=góc ANM=90 độ

=>góc NMC=90 độ-góc C=góc BAC

 a) Do AM là tia phân giác của ∠BAC (gt)

⇒ ∠BAM = ∠CAM

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (gt)

∠BAM = ∠CAM (cmt)

AM là cạnh chung

⇒ ∆ABM = ∆ACM (c-g-c)

b) Do ∆ABM = ∆ACM (cmt)

⇒ BM = CM (hai cạnh tương ứng)

⇒ M là trung điểm của BC

Do ∆ABM = ∆ACM (cmt)

⇒ ∠AMB = ∠AMC (hai góc tương ứng)

Mà ∠AMB + ∠AMC = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠AMB = ∠AMC = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ AM ⊥ BC

c) Do ∠BAM = ∠CAM (cmt)

⇒ ∠EAM = ∠FAM

Xét hai tam giác vuông: ∆AME và ∆AMF có:

AM là cạnh chung

∠EAM = ∠FAM (cmt)

⇒ ∆AME = ∆AMF (cạnh huyền góc nhọn)

⇒ ME = MF (hai cạnh tương ứng)

a,
Xét tam giác ABC có:
+ AB = AC (giả thuyết)
+ Góc CAM = MAB (AM là phân giác góc BAC)
+ AM chung
⇒ 2 tam giác bằng nhau (cgc) (đpcm)

b,
Ta có:
+ Tam giác AMC = Tam giác ABM (theo câu a)
⇒ CM = MB (2 cạnh tương ứng) (1)
⇒ M là trung điểm BC (đpcm)
+ Mà AM là tia phân giác góc CAB (2)
+ Góc AMC = Góc AMB (3)
Từ (1), (2), (3).
⇒ AM ⊥ BC (t/c) (đpcm)

c,
Ta có:
Tam giác ACM = Tam giác ABM (theo câu A)
⇒ Góc ACM = Góc ABM (2 góc tương ứng)
Ta có:
+ ME ⊥ AB (giả thuyết)
⇒ Tam giác MEB vuông tại E
+ MF ⊥ AC (giả thuyết)
⇒ Tam giác CFM vuông tại F
Xét tam giác CFM vuông tại F và tam giác MEB vuông tại E có:
+ Góc ACM bằng góc ABM (chứng minh trên)
+ MC = MB (theo câu b)
⇒ Hai tam giác CFM = MEB (cạnh huyền góc nhọn)
⇒ ME = MF (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

cần cm IB=KM từ đó có AI=AK . suy ra tgAPK cân tại A. suy ra góc AKP=gocsIAD. từ đó có dpcm