Ta có M là trung điểm của AC nên 

          K là trung điểm của BC nên 

                      ^{Bạn tự vẽ hình minh họa nha :>}

Gọi G là giao điểm của AK, BM thì G là trọng tâm của tam giác.

Ta có  =  =>  = 

 = - = -  = -

Theo quy tắc 3 điểm đối với tổng vec-tơ:

= + =>  = -  = (- ).

AK là trung tuyến thuộc cạnh BC nên

+  = 2 => - += 2

Từ đây ta có  = + =>  = - - .

BM là trung tuyến thuộc đỉnh B nên:

+ = 2 => -  + = 2

=>  =  + .

\(\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

a: \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)

Do BN là trung tuyến

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\\\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\\2\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế:

\(\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{BN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BN}\)

\(\overrightarrow{BM}=\dfrac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}}{2}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

a: \(\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\)

a: \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}\)

\(=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(=\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)

\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)