Gọi giao điểm của hai đường chéo là O giao điểm của hai cạnh bên là S,giao điểm của SO với AB,CD lần lượt là X,Y.
Ta có AX//YC nên theo định lý Ta lét ta có:
\(\frac{AX}{YC}\)=\(\frac{AO}{OC}\)=\(\frac{AB}{DC}\)=\(\frac{AX}{DY}\)
=>YC=DY
Vậy Y là trung điểm của DC.
Ta có AB//DC theo định lý Ta-lét ta có:
\(\frac{AX}{DY}\)=\(\frac{SX}{XY}\)=\(\frac{XB}{YC}\)
mà DY=YC(c/m trên)
=>AX=XB=>X là trung điểm của AB
Vậy giao điểm của SO với AB,CD tại trung điểm của các cạnh đó
=>đpcm
Ta cũng dễ dàng chứng mình được đường thẳng chứa 4 điểm đó là trùng trực của hai cạnh đấy sao khi chừng minh chúng thẳng hàng ở trên nhé!

Gọi giao điểm của hai đường chéo là O giao điểm của hai cạnh bên là S,giao điểm của SO với AB,CD lần lượt là X,Y.
Ta có AX//YC nên theo định lý Ta lét ta có:
AXYCAXYC=AOOCAOOC=ABDCABDC=AXDYAXDY
=>YC=DY
Vậy Y là trung điểm của DC.
Ta có AB//DC theo định lý Ta-lét ta có:
AXDYAXDY=SXXYSXXY=XBYCXBYC
mà DY=YC(c/m trên)
=>AX=XB=>X là trung điểm của AB
Vậy giao điểm của SO với AB,CD tại trung điểm của các cạnh đó
=>đpcm
 

Gọi giao điểm của hai đường chéo là O giao điểm của hai cạnh bên là S,giao điểm của SO với AB,CD lần lượt là X,Y.Ta có AX//YC nên theo định lý Ta lét ta có:AXYC =AOOC =ABDC =AXDY =>YC=DYVậy Y là trung điểm của DC.Ta có AB//DC theo định lý Ta-lét ta có:AXDY =SXXY =

THam khảo nha : 

Xét bài toán: Cho tam giác ABC.ABC. Dựng hình vuông ABEFABEF và ACGHACGH phía ngoài tam giác. P,P, QQ theo thứ tự là tâm của hình vuông ABEFABEF và ACGH.ACGH. Lấy MMtrung điểm BC.BC. Chứng minh tam giác PQMPQM vuông cân tại M.M.

Lời giải: 

Dễ dàng chứng minh được MPMP và MQMQ theo thứ tự là đường trung bình của tam giác BCFBCF và BCH.BCH.

Suy ra MP∥CF ; MP=12CFMP∥CF ; MP=12CF và MQ∥BH ; MQ=12BH.   (1)MQ∥BH ; MQ=12BH.   (1)

Ta có: 

ˆBAH=ˆBAF+ˆFAH=90∘+ˆFAHBAH^=BAF^+FAH^=90∘+FAH^

ˆCAF=ˆCAH+ˆFAH=90∘+ˆFAHCAF^=CAH^+FAH^=90∘+FAH^

Do đó ˆBAH=ˆCAF.BAH^=CAF^.

Từ đó chứng minh được △AFC=△ABH (c.g.c)△AFC=△ABH (c.g.c)

⇒ˆFCA=ˆBHA⇒FCA^=BHA^

Gọi II và OO theo thứ tự là giao điểm của CFCF với BHBH và AH.AH.

Khi đó ˆOCA=ˆIHOOCA^=IHO^

Mà ˆOCA+ˆAOC=90∘OCA^+AOC^=90∘ và ˆAOC=ˆIOHAOC^=IOH^ ((đối đỉnh))

Nên ˆIHO+ˆIOH=90∘,IHO^+IOH^=90∘, suy ra ˆHIO=90∘HIO^=90∘

Do đó IH⊥IOIH⊥IO hay BH⊥CF.    (2)BH⊥CF.    (2)

Vì △AFC=△ABH (c.g.c)△AFC=△ABH (c.g.c) nên CF=BH.     (3)CF=BH.     (3)

Từ (1),(1), (2)(2) và (3)(3) suy ra MP=MQMP=MQ và MP⊥MQ.MP⊥MQ. Vậy tam giác MPQMPQ vuông cân tại M.M.

★★★★★★★★★★★★★★★★

Quay lại bài toán. Gọi MM là trung điểm ACAC

Áp dụng kết quả trên, ta chứng minh được tam giác EMFEMF và HMGHMG vuông cân tại M.M.

Từ đó chứng minh được △MEG=△MFH (c.g.c)△MEG=△MFH (c.g.c)

Rồi suy ra EG=HFEG=HF và EG⊥HF.EG⊥HF.

b)b) Gọi PP và QQ lần lượt là trung điểm HFHF và EGEG

Từ △MEG=△MFH (c.g.c)△MEG=△MFH (c.g.c) dễ dàng chứng minh được △MPF=△MQE (c.g.c)△MPF=△MQE (c.g.c)

Suy ra MP=MQMP=MQ và ˆPMF=ˆQME ⇒ ˆPMQ=ˆEMF=90∘PMF^=QME^ ⇒ PMQ^=EMF^=90∘

Do đó tam giác MPQMPQ vuông cân tại MM

Gọi NN trung điểm BD.BD. Chứng minh tương tự như trên, ta được tam giác NPQNPQ vuông cân tại N.N.

Suy ra tứ giác MPNQMPNQ là hình vuông.

Chú ý K A F ^ = T C J ^  (2 cạnh tương ứng song song)

A B C ^ = A D C ^  (góc đối của hình bình hành)

F A K ^ = A B C ^  (có cạnh tương ứng vuông góc)

Suy ra  K A F ^ = T C J ^   =   A B C ^ = A D C ^

Vậy M A Q ^ = M B N ^ = P C N ^ = P D Q ^  

Lại có: MA = MB = PC=PD và AQ = BN = CN = DQ

(nửa đường chéo của hình vuông bằng nhau)

Suy ra DMAQ = DMBN = DPCN = DPDQ

Þ MQ = MN = NP = PQ (1)

Do các tam giác bằng nhau ⇒   B N M ^ = C N P   ^   h a y     B N C ^ =    M N P ^  = 90⁰ (2).

Từ (1) và (2) có MNPQ là hình vuông

Tứ giác EGCD có : 

góc EBC = góc GCB = góc EGC = 90 độ 

-> EGCB là hình chữ nhật

Mà P,Q,M,N lần lượt là đỉnh của 4 cạnh 

 ->MNPQ là hình vuông