Lời giải:
$2(x+y)=3(y+z)=4(x+z)$

$\Rightarrow \frac{x+y}{6}=\frac{y+z}{4}=\frac{x+z}{3}$ (chia cả 3 vế cho $12$)

Đặt giá trị trên là $t$

$\Rightarrow x+y=6t; y+z=4t; z+x=3t$

$\Rightarrow x+y+z=(6t+4t+3t):2=6,5t$

$x=6,5t-4t=2,5t; y=6,5t-3t=3,5t; z=6,5t-6t=0,5t$. Khi đó:
$P=\frac{2,5t}{3,5t}+\frac{3,5t}{0,5t}+\frac{0,5t}{2,5t}$

$=\frac{2,5}{3,5}+\frac{3,5}{0,5}+\frac{0,5}{2,5}=\frac{277}{35}$

Đặt \(x=2k;y=5k;z=7k\)

\(P=\dfrac{2k-5k+7k}{2k+10k-7k}=\dfrac{4k}{5k}=\dfrac{4}{5}\)

Ta có \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(yz\right)^2+\left(xz\right)^2+\left(xy\right)^2+2xyz}{\left(xyz\right)^2}=1\)

<=> (xy)² + (yz)² + (zx)² + 2xyz = (xyz)² 

<=> (xy)² + (yz)² + (xz)² + 2xyz(x + y + z) = (xyz)² 

<=> (xy + yz + zx)² = (xyz)² 

<=> \(\left[{}\begin{matrix}xy+yz+zx=xyz\\xy+yz+zx=-xyz\end{matrix}\right.\)

+) Khi xy + yz + zx = -xyz 

=> \(\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=-1< 0\left(\text{loại}\right)\)

=> xy + yz + zx = xyz 

<=> \(xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=xyz\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-1\right)=0\)

<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)

<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)

<=> \(\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right)z}\)

<=> \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xz+yz+z^2}+\dfrac{1}{xy}\right)=0\)

<=> \(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(zx+yz+z^2\right)xy}=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)

Khi x = -y => y = 1 => P = 1

Tương tự y = -z ; z = -x được P = 1

Vậy P = 1 

Đẳng thức đã cho tương đương với:

\(\dfrac{x^2z+y^2z-z^3+y^2x+z^2x-x^3+z^2y+x^2y-y^3}{2yxz}=1\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+2xyz-x^2y-y^2z-z^2x-xy^2-yz^2-zx^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)=0\Leftrightarrow z+x=y\) (Do x + y khác z và y + z khác x).

Từ đó P = 2y (Biểu thức của P phụ thuộc vào biến y).

Vậy từ giả thiết đó bạn có thể CMR P=0 đc k

Giúp mk ba mk đg cần gấp

\(\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}=\dfrac{x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2}{xyz}=\dfrac{-3xyz}{xyz}=-3\)

đề cho xy+yz+xz=0 nhân cả 2 vế với -z

=>-xyz-\(z^2\left(y+x\right)\)=0

=>-xyz=\(z^2x+z^2y\)

cmtt bạn nhân với -y và -z

=>-3xyz=\(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2\)

\(\dfrac{x+y-2017z}{z}=\dfrac{y+z-2017x}{x}=\dfrac{z+x-2017y}{y}\)

<=> \(\dfrac{x+y}{z}-2017=\dfrac{z+y}{x}-2017=\dfrac{z+x}{y}-2017\)

<=> \(\dfrac{x+y}{z}=\dfrac{z+y}{x}=\dfrac{z+x}{y}\)

đặt x+y+z = t 

=> \(\dfrac{t-z}{z}=\dfrac{t-x}{x}=\dfrac{t-y}{y}< =>\dfrac{t}{z}-1=\dfrac{t}{x}-1=\dfrac{t}{y}-1\) \(< =>\dfrac{t}{z}=\dfrac{t}{y}=\dfrac{t}{x}\)

=> x=y=z 

ta lại có 

\(P=\left(1+\dfrac{y}{x}\right)\left(1+\dfrac{x}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{y}\right)\)

vì x=y=z  => P = \(\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)

Xét \(x+y+z=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z=-x\\z+x=-y\\x+y=-z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\left(2-1\right)\left(2-1\right)\left(2-1\right)=1\)

Xét \(x+y+z\ne0\) thì ta có:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=y+z+3x\\5y=z+x+3y\\5z=x+y+3z\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=y+z\\2y=z+x\\2z=x+y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\left(2+2\right)\left(2+2\right)\left(2+2\right)=64\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}A=1\\A=64\end{matrix}\right.\)

Nếu bị lỗi thì bạn có thể xem đây nhé:

Từ \(x\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+y\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+z\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=-2\) ta có:

\(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\).

Không mất tính tổng quát, giả sử x + y = 0

\(\Leftrightarrow x=-y\)

\(\Leftrightarrow x^3=-y^3\).

Kết hợp với \(x^3+y^3+z^3=1\) ta có \(z^3=1\Leftrightarrow z=1\).

Vậy \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{-y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1}=1\).