Cho lăng trụ tam giác đều ABCDA'B'C'D' có cạnh đáy bằng a góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng đáy bằng 60 ° Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A'B'C'D' theo a .
A. 3 a 3 4
B. a 3 12
C. 3 a 3 4
D. a 3 4
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a.
A . 3 a 3 4
B . a 3 12
C . 3 a 3 4
D . a 3 4
Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi, A C = 2 a , B A D ^ = 120 ∘ . Hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng A ' B ' C ' D ' là trung điểm cạnh A' B' góc giữa mặt phẳng A C ' D ' và mặt đáy lăng trụ bằng 60 ∘ . Tính thể tích V của khối lăng trụ A B C D . A ' B ' C ' D '
A. V = 2 3 a 3
B. V = 3 3 a 3
C. V = 3 a 3
D. V = 6 3 a 3
Đáp án D
Gọi H là trung điểm của BC, kẻ H K ⊥ C ' D ' K ∈ C ' D '
Suy ra B H ⊥ A ' B ' C ' D ' ⇒ A C ' D ' ; A ' B ' C ' D ' ^ = B K H ^
Tam giác A’C’D’ đều cạnh 2 a ⇒ H K = d A ' ; C ' D ' = a 3
Tam giác BHK vuông tại H ⇒ B H = tan 60 ∘ x H K = 3 a
Diện tích hình thoi A’B’C’D’ là S A ' B ' C ' D ' = 2 a 2 3 .
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’D’ là V = B H . S A ' B ' C ' D ' = 3 a .2 a 2 3 = 6 3 a 3
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 ° . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60 ° . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A'B'C'D' cạnh đáy bằng a, góc giữa A’B và mặt phẳng (A’ ACC’) bằng 30 0 ^ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V= a 3 3
B. V= a 3 2
C. V= a 3
D. V= 2 a 3
Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi, AC=2a, BAD= 120 o Hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng (A'B'C'D') là trung điểm cạnh A' B' góc giữa mặt phẳng (AC'D') và mặt đáy lăng trụ bằng 60 o . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D'?
Cho lăng trụ đứng tam giác M N P . M ’ N ’ P ’ có đáy MNP là tam giác đều cạnh a, đường chéo MP’ tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60 ° Tính theo a thể tích của khối lăng trụ M N P . M ’ N ’ P ’ .
A. 3 2 a 3
B. 2 3 a 3
C. 3 4 a 3
D. 2 4 a 3
Đáp án C
Ta có: M M ' = a tan 60 ∘ = a 3 ; S M N P = 1 2 a 2 sin 60 ∘ = a 2 3 4
Thể tích khối lăng trụ là: V = M M ' . S M N P = a 3 . a 2 2 4 = 3 a 3 4 .
Cho lăng trụ đứng tam giác MNP.M'N'P' có đáy MNP là tam giác đều cạnh a, đường chéo MP' tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60 độ. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ MNP.M'N'P'.
A. 3 2 a 3
B. 2 3 a 3
C. 3 4 a 3
D. 2 4 a 3
Đáp án C
Vì MNP là tam giác đều cạnh a nên S M N P = a 2 3 4
Do MNP.M'N'P' là lăng trụ đứng nên P P ' ⊥ M P
Mà MP' tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60 độ
⇒ P M P ' ^ = 60 ° ⇒ P P ' = M P . tan 60 ° = a 3
Vậy thể tích của khối lăng trụ là
V = S M N P . P P ' = a 2 3 4 . a 3 = 3 4 a 3
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 3a. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là điểm D thỏa mãn D C ⇀ = - 2 D B ⇀ . Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (A'B'C') bằng 45 0 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
A . 9 a 3 21 4
B . 3 a 3 21 4
C . 27 a 3 21 4
D . a 3 21 4
Đáp án A.
Theo giả thiết ta có CD' ⊥ (ABC). Áp dụng định lý Cô-sin cho ∆ ABD ta được:
AD =
Hình chiếu vuông góc của AC’ trên mặt phẳng (ABC) là AD, vì vậy ta có góc giữa AC' và mặt phẳng (ABC) là góc C ' A D ^ = 45 0 => ∆ C'AD vuông cân tại D
Diện tích ∆ ABC là
Do đó