A= \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

A <\(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

A<\(1-\frac{1}{n}\)=\(\frac{n}{n}-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}< 1\)

Vậy A < 1

Ta có:
1/2² < 1/1.2
1/3² < 1/2.3
1/4² < 1/3.4
..................
=> 1/n² < 1/n(n-1)
=> 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n² < 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ... + 1/n(n-1)
=> A < 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/n-1 + 1/n
=> A < 1 - 1/n
Vơi n thuộc N* => 1 - 1/n < 1 ( vì 1/n lúc đó lớn hơn 0 )
=> A < 1 - 1/n < 1
đpcm

Thanh Thảo Michiko giải bài này kiểu gì vậy

a) \(2+4+6+...+2n=n\left(n+1\right)\)       (1)

\(n=1\) ta có : \(2=1\cdot\left(1+1\right)\)  ( đúng)

Giả sử (1) đúng đến n, ta sẽ chứng minh (1) đúng với n+1

Có \(2+4+6+...+2n+2\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

=> (1) đúng với n+1

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

b) sai đề nha, mình search google thì được như này =))

 \(1^3+3^3+5^3+...+\left(2n-1\right)^2=n^2\left(2n^2-1\right)\)     (2)

\(n=1\) ta có : \(1^3=1^2\cdot\left(2-1\right)\)   (đúng) 

giả sử (2) đúng đến n, tức là \(1^3+3^3+...+\left(2n-1\right)^3=n^2\left(2n^2-1\right)\)

Ta c/m (2) đúng với n+1

Có \(1^3+3^3+...+\left(2n+1\right)^3=n^2\left(2n^2-1\right)+\left(2n+1\right)^3\)

\(=2n^4+8n^3+11n^2+6n+1\)

\(=\left(n^2+2n+1\right)\left(2n^2+4n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)^2\left[2\left(n+1\right)^2-1\right]\)   => (2) đúng với n+1

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

ta có:1/2^2=1/4
1/3^2<1/2.3=1/2-1/3
1/4^2<1/3.4=1/3-1/4
...
1/100^2<1/99.100=1/99-1/100
=> A=1/2^2+1/3^2+1/4^2+.....+1/100^2<1/4+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/99-1/100
<1/4+1/2-1/100<1/2

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.....+\frac{1}{100^2}\)

\(< \frac{1}{4}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+....+\frac{1}{99\cdot100}\)

\(=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+.....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\)

\(< \frac{1}{2}-\frac{1}{100}\)

\(< \frac{1}{2}\)

Lời giải:
$a=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

$b=2n+1$

Giả sử $a,b$ không nguyên tố cùng nhau. Gọi $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $a,b$.

$\Rightarrow a=\frac{n(n+1)}{2}\vdots p; b=2n+1\vdots p$

Có:

$\frac{n(n+1)}{2}\vdots p\Rightarrow n\vdots p$ hoặc $n+1\vdots p$

Nếu $n\vdots p$. Kết hợp với $2n+1\vdots p\Rightarrow 1\vdots p\Rightarrow p=1$ (vô lý) 

Nếu $n+1\vdots p$. Kết hợp với $2n+1\vdots p\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots p$

$\Rightarrow 1\vdots p\Rightarrow p=1$ (vô lý)

Vậy điều giả sử là sai. Tức là $a,b$ là hai số nguyên tố cùng nhau. 

Tk mình đi mọi người mình bị âm nè!

Ai tk mình mình tk lại cho

Tổng trên có số số hạng là: \(\left(n-2\right):1+1=n-1\) số hạng

Suy ra \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}\)

\(=\frac{\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{\frac{1}{n}\left(n-1\right)+\frac{1}{2}\left(n-1\right)}{2}\)

\(=\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{n}{2}-\frac{1}{2}}{2}=\frac{\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{n}-\frac{n}{2}\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)}{2}-\frac{\left(\frac{2}{2n}\right)}{2}+\frac{\left(\frac{n^2}{2n}\right)}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2n}+\frac{n}{4}\)

Suy ra \(n\ne0\).Ta có: \(S=\frac{1}{4}-\frac{1}{2n}+\frac{n}{4}=\frac{1+n}{4}-\frac{1}{2n}\)

\(=\frac{2n^2+2n+4}{8n}=\frac{2\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}{8n}+\frac{\left(\frac{7}{2}\right)}{8n}\)

\(=\frac{2\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}{8n}+\frac{7}{16n}\)

Đến đây bí =)Alibaba!

Ta có :

\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+....................+\dfrac{1}{100^2}\)

Ta thấy :

\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1.2}\)

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3}\)

..............................

\(\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+................+\dfrac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow A< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...............+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(\Rightarrow A< 1-\dfrac{1}{100}< 1\)

\(\Rightarrow A< 1\) \(\rightarrowđpcm\)

Ta có

\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3}\)

\(\dfrac{1}{4^2}< \dfrac{1}{3.4}\)

\(.........\)

\(\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{99.100}\)

Cộng theo vế ta có:

\(A< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

\(A< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(A< 1-\dfrac{1}{100}< 1\)

Vậy \(A< 1\left(dpcm\right)\)

\(A=\dfrac{1}{2^2}+....+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+....+\dfrac{1}{99.100}\\ =\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\\ =1-\dfrac{1}{100}\\ =\dfrac{99}{100}< 1\)

cm cái j v ạ ?

Chứng minh nó không thuộc Z

\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{100.101}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{2}-\frac{1}{101}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{99}{202}< \frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)

A= 1/4 +1/3^2 +1/4^2 +.....+ 1/100^2

< 1/4 + 1/2.3 + 1/3.4 +.....+1/99.100

=1/4 + 1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/99-1/100

=1/4 +1/2 - 1/100 < 1/4+1/2 = 3/4

=> ĐPCM