\(\overrightarrow{AB}=\left(1;2\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(4;-2\right)\)

Vì \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

nên ΔABC vuông tại A

\(AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)

\(AC=\sqrt{4^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{5}\)

\(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{10}{2}=5\left(đvdt\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(4;-2\right)\\\overrightarrow{AB}=\left(1;2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=4.1+\left(-2\right).2=0\)

\(\Rightarrow AC\perp AB\) hay tam giác vuông tại A

\(AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\) ; \(AC=\sqrt{4^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=5\)

a) Giả sử M là trung điểm của BC, \(\Delta ABM\) là tam giác đều nên \(\widehat{ABC}=60^o.\)

Từ đó suy ra: \(\widehat{BCA}=30^o\). Theo định lí Py-ta-go, ta có:

AC = \(\sqrt{BC^2-AB^2}\)

AC = \(\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}.\)

Do đó, ta có:

S_ABC = \(\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}a^2\sqrt{3}.\) (1)

b) Vì \(\widehat{FAB}=\widehat{ABC}=60^o\) nên FA // BC (hai góc so le trong), từ đó suy ra FA vuông góc với BE và CG.

Gọi giao điểm của FA và BE là H, giao điểm của FA và CG là K. Ta có:

S_FAG = \(\dfrac{1}{2}FA.GK=\dfrac{1}{2}a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{4}a^2\sqrt{3},\) (2)

S_FBE = \(\dfrac{1}{2}BE.FH=\dfrac{1}{2}.2a.\dfrac{a}{2}=\dfrac{1}{2}a^2.\) (3)

c) S_BDCE = 4a², (4)

S_ABF = \(\dfrac{1}{4}a^2\sqrt{3},\) (5)

S_ACG = \(\dfrac{3}{4}a^2\sqrt{3}.\) (6)

Từ (1), (2), (3), (4), (5), (6), ta có:

S_DEFG = \(\dfrac{a^2}{4}\left(18+7\sqrt{3}\right)\approx7,53a^2.\)

a) Ta có:  A B 2   +   A C 2   =   6 2   +   4 , 5 2   =   7 , 5 2   =   B C 2

nên tam giác ABC vuông tại A. (đpcm)

= >   ∠ B   =   37 ° = >   ∠ C   =   90 °   -   ∠ B   =   90 °   -   37 °   =   53 °

Mặt khác trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

=> AH = 3,6 cm

b) Gọi khoảng cách từ M đến BC là MK. Ta có:

Ta thấy SMBC = SABC khi MK = AH = 3,6 cm

Do đó để SMBC = SABC thì M phải nằm trên đường thẳng song song và cách BC một khoảng là 3,6 cm (có hai đường thẳng như trên hình).

a, Xét \(\Delta\)ABC có: AB² + AC² = 6² + 4,5² = 56,25  (cm²)

                        BC² = 7,5² = 56,25  (cm²)

AB² + AC² = BC² vậy tam giác ABC vuông tại A (đpcm) 

SinC = 6 : 7,5  =0,8 ⇒ \(\widehat{C}\) = 53,13⁰ ⇒ \(\widehat{B}\) = 90⁰ - 53,13⁰ = 36,87⁰

b, Dựng hình chữ nhật ABCD, chiều cao AH, DK, và đường thẳng d đi qua D song song với BC  như hình vẽ ta có

S_ABC = S_BDC ⇒ AH = DK 

Lây 1 điểm bất M kỳ di động trên đường thẳng d ta có:

S_BDC = S_MBC  (vì hai tam giác có chiều cao bằng nhau và chung cạnh đáy BC)

⇒ S_ABC = S_MBC

Kết luận khi M di động trên đường thẳng d thì diện tích tam giác MBC luôn bằng diện tích tam giác ABC