n^5-n= (n-1)n(n+1)(n^2+1)

(n-1)n(n+1) tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3(1)

(n-1)n tích 2 ssoo tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2(2)

còn n^5 và có cùng chữ số tận cuunfg nên hiệu có chữ sô tận cùng là 0 chia hết cho 5(3)

từ (1)(2)(3) => chia hết cho 30

               Bài làm :

\(a\text{)}\left(n^3-n\right)=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp ⋮ 6 nên : n³ - n ⋮ 6

=> Điều phải chứng minh

\(b\text{)}n^5-m=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2-4\right)+5\right]=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì :

=> (n⁵-n) ⋮5

=> Điều phải chứng minh

 \(\text{c)}n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)=n\text{[}n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-1\right)\text{]}=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\text{Vì : }n-2;n-1;n;n+1;n+2\text{là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3,5,8}\)

Mà 3,5,8 nguyên tố cùng nhau nên :

\(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3.5.8=120\) \(\)

=> Điều phải chứng minh

a) n³ - n = n( n² - 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )

Ta có n( n - 1 ) là hai số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2 (1)

n( n - 1 )( n + 1 ) là ba số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) => n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 6 hay n³ - n chia hết cho 6 ( đpcm ) 

b) n⁵ - n = n( n⁴ - 1 ) = n( n² - 1 )( n² + 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )( n² + 1 )

= n( n - 1 )( n + 1 )[ ( n² - 4 ) + 5 ]

= n( n - 1 )( n + 1 )( n² - 4 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )

= n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )

n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5 (1)

5n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

c) n⁵ - 5n³ + 4n = n( n⁴ - 5n² + 4 )

Xét n⁴ - 5n² + 4 (*)

Đặt t = n² 

(*) <=> t² - 5t + 4 = t² - t - 4t + 4 = t( t - 1 ) - 4( t - 1 ) = ( t - 1 )( t - 4 ) = ( n² - 1 )( n² - 4 )

=> n( n⁴ - 5n² + 4 ) = n( n² - 1 )( n² - 4 ) = n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 )

n( n - 1 ) là tích của hai số nguyên liên tiếp => chia hết cho 2 (1)

n( n - 1 )( n + 1 ) là tích của 3 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 3 (2)

n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 ) là tích của 4 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 4 (3)

n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) => đpcm

\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Do \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\forall n\in Z^+\)

\(\Rightarrow n^5-n⋮5\forall n\in Z^+\)

\(n+5⋮n-3\)

\(\Rightarrow n-3+8⋮n-3\)

     \(n-3⋮n-3\)

\(\Rightarrow8⋮n-3\)

\(\Rightarrow n-3\inƯ\left(8\right)\)

     \(n\inℤ\Rightarrow n-3\inℤ\)

\(\Rightarrow n-3\in\left\{-1;1;-2;2;-4;4-8;8\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{2;4;1;5;-1;7;-5;11\right\}\)

\(n+5⋮n-3\)

\(\Leftrightarrow\left(n-3\right)+8⋮n-3\)

-Mà: \(n-3⋮n-3\Rightarrow8⋮n-3\)

\(\Leftrightarrow n-3\inƯ\left(8\right)\)

\(\Rightarrow.....\)

wed này bạn ơi : http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn/chung-minh-rang-5n-1-chia-het-cho-4/

A=n^5-n-5n

n^5-n chia hết cho 5 do 5 là số nguyên tố

-5n chia hết cho 5

=>A chia hết cho 5

\(A=N^5-N=N\left(N^4-1\right)=N\left(N^2-1\right)\left(N^2+1\right)=N\left(N-1\right)\left(N+1\right)\left(N^2+1\right)\)

NẾU N:5 DƯ 1\(\Rightarrow N=5K+1\)

\(\Rightarrow A=N.\left(5K+1-1\right)\left(N+1\right)\left(N^2+1\right)=N.5K.\left(N+1\right)\left(N^2+1\right)\)

...

Đến đây thì bí rồi nhé