Giải:

a) Hình vẽ:

Xét hai tam giác vuông \(AHD\) và \(AKB\) ta có:

\(AD=AB\) (cạnh hình thoi)

\(\widehat{D}=\widehat{B}\) (hai góc đối hình thoi)

Do đó: \(\Delta AHD=\Delta AKB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow AH=AK\) (Đpcm)

b) Hình vẽ:

Cách 1: Ta có: \(\Delta AHD=\Delta AKB\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow AD=AK\)

Hình bình hành \(ABCD\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi (Đpcm)

Cách 2: Ta có: \(\Delta AHC=\Delta AKC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)

Hình bình hành \(ABCD\) có một đường chéo là phân giác của một góc nên là hình thoi (Đpcm)

xét \(\Delta\)ACK và ABH có 

AB=AC(tc hình thoi)

\(\widehat{AKC}=\widehat{AHB}=90^o\)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)

theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn

=>AH=AK (2 cạnh tương ứng)

b)

xét \(\Delta\)AKDvà \(\Delta\)AHB

có\(\widehat{AHB}=\widehat{AK\text{D}}=90^o\)

AH=AK(gt)

\(\widehat{B}=\widehat{D}\)(tính chất HBH)

=>AB=AD(2 cạnh tương ứng)

ABCD là hình thoi vì là HBH có 2 cạnh kề bằng nhau

Xét hai tam giác vuông AHC và AKC, ta có:

∠ (AHC) = ∠ (AKC) = 90 0

AH = AK (gt)

AC cạnh huyền chung

Suy ra: ∆ AHC = ∆ AKC (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

⇒  ∠ (ACH) =  ∠ (ACK) hay  ∠ (ACB) =  ∠ (ACD)

⇒ CA là tia phân giác  ∠ (BCD)

Hình bình hành ABCD có đường chéo CA là đường phân giác nên là hình thoi.

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAKB vuông tại K có

AH=AK

góc HAD=góc KAB

=>ΔAHD=ΔAKB

=>AD=AB

=>ABCD là hình thoi

Tham khảo

Xét hai tam giác vuông AHC và AKC, ta có:

(AHC) = (AKC) = 

AH = AK (gt)

AC cạnh huyền chung

Suy ra: AHC = AKC (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

⇒ (ACH) = (ACK) hay (ACB) = (ACD)

⇒ CA là tia phân giác (BCD)

Hình bình hành ABCD có đường chéo CA là đường phân giác nên là hình thoi.

a: BC\(\perp\)BA(ABCD là hình vuông)

BC\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABCD))

BA,SA cùng thuộc mp(SAB)

Do đó: BC\(\perp\)(SAB)

=>BC\(\perp\)SB

=>ΔSBC vuông tại B

Ta có: CD\(\perp\)AD(ABCD là hình vuông)

CD\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABCD))

SA,AD cùng thuộc mp(SAD)

Do đó: CD\(\perp\)(SAD)

=>CD\(\perp\)SD

=>ΔSDC vuông tại D

b: Ta có: AH\(\perp\)SB

AH\(\perp\)BC(BC\(\perp\)(SAB))

SB,BC cùng thuộc mp(SBC)

Do đó: AH\(\perp\)(SBC)

=>AH\(\perp\)SC

CD\(\perp\)(SAD)

AI\(\subset\)(SAD)

Do đó: CD\(\perp\)AI

mà AI\(\perp\)SD

và SD,CD cùng thuộc mp(CSD)

nên AI\(\perp\)(SCD)

=>AI\(\perp\)SC

Ta có: AI\(\perp\)SC

AK\(\perp\)SC

AH\(\perp\)SC

=>AI,AK,AH đồng phẳng

c: Xét ΔSAB vuông tại A và ΔSAD vuông tại A có

SA chung

AB=AD

Do đó: ΔSAB=ΔSAD

=>\(\widehat{BSA}=\widehat{DSA}\); SB=SD

Xét ΔSHA vuông tại H và ΔSIA vuông tại I có

SA chung

\(\widehat{HSA}=\widehat{ISA}\)

Do đó: ΔSHA=ΔSIA

=>SH=SI

Xét ΔSBD có \(\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SI}{SD}\)

nên HI//BD

BD\(\perp\)AC(ABCD là hình vuông)

BD\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABCD))

AC,SA cùng thuộc mp(SAC)

Do đó:BD\(\perp\)(SAC)

mà HI//BD

nên HI\(\perp\)(SAC)

mà AK\(\subset\)(SAC)

nên HI\(\perp\)AK

Hình bạn tự vẽ nha, thanks bạn

Ta có: \(\widehat{DAH}=90^o-\widehat{D}\)

\(\widehat{BAK}=90^o-\widehat{B}\)

Mà \(\widehat{D}=\widehat{B}\)(ABCD là hình bình hành)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{BAK}\)

Xét 2 tam giác vuông: \(\Delta AHD\) và \(\Delta AKB\), có:

\(cgv:AH=AK\left(gt\right)\)

\(gn:\widehat{DAH}=\widehat{BAK}\left(cmt\right)\)

Do đó: \(\Delta AHD=\Delta AKB\left(1cgv-1gn\right)\)

\(\Rightarrow AD=AB\)(2 cạnh tương ứng)

Mà ABCD là hình bình hành

Do đó: ABCD là hình thoi(dhnb số ...)

Bài này có gì đâu em ! Anh làm nhé !

Chuyển vế cái cần chứng minh ta được 

1/AB^2 - 1/AE^2 =1/4AF^2

hay ( AE^2 - AB^2)/AB^2.AE^2 = 1/4AF^2

hay BE^2/ 4BC^2.AE^2 = 1/AF^2

Nhân chéo hai vế ta có : BC.AE = BE.AF hay là BC/AF = BE/AE

Chuyển vế cái cần chứng minh ta được 

1/AB^2 - 1/AE^2 =1/4AF^2

hay ( AE^2 - AB^2)/AB^2.AE^2 = 1/4AF^2

hay BE^2/ 4BC^2.AE^2 = 1/AF^2

Nhân chéo hai vế ta có : BC.AE = BE.AF hay là BC/AF = BE/AE