Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + 2CD (chứng minh trên)

Suy ra: 14 = 4 + 2.CD ⇒ CD = 5 (cm)

Hay CM + DM = 5 ⇒ DM = 5 – CM (1)

Tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

O M 2  = CM.DM ⇔ 2 2 = CM.DM ⇔ 4 = CM.DM (2)

Thay (1) vào (2) ta có: CM.(5 – CM) = 4

⇔ 5CM – C M 2 – 4 = 0 ⇔ 4CM – C M 2  + CM – 4 = 0

⇔ CM(4 – CM) + (CM – 4) = 0 ⇔ CM(4 – CM) – (4 – CM) = 0

⇔ (CM – 1)(4 – CM) = 0 ⇔ CM – 1 = 0 hoặc 4 – CM = 0

⇔ CM = 1 hoặc CM = 4

Vì CM = CA (chứng minh trên) nên AC = 1 (cm) hoặc AC = 4 (cm)

Vậy điểm C cách điểm A 1cm hoặc 4cm thì hình thang ABDC có chu vi bằng 14.

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB

Suy ra: IC = ID = IO = (1/2).CD (tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

Chọn B

Bài này nhớ hôm trước làm rồi mà không nhớ ở câu nào nữa == , ngại tìm lại nên làm luôn :>

a) Ta có : OC , OD là các tia phân giác của 2 góc kề bù nên \(\widehat{COD}=90^o\) . Gọi I là trung điểm của CD tì :

                                   IC = ID = IO

nên I là tâm và IO là bán kính của đường tròn có đường kính CD

b) 

Chu vi hình thang ABDC bằng :

AB + AC + BD + CD

Ta dễ dàng chứng inh được :

AC + BD = CM + MD = CD

nên chu vi ABDC bằng AB + 2CD

Ta có AB không đổi nên chu vi ABDC nhỏ nhất và bằng 3AB .

c)

Đặt AC = x ; BD = y . Chu vi ABCD bằng :

AB + 2CD = 4 + 2( x + y )

Do chu vi ABDC bằng 14 nên :

4 + 2( x + y ) = 14

hay 

x + y = 5         (1)

Ta lại có :

xy = MC . MD

     = OM² ( hệ thức lượng tam giác vuông COD )

nên  xy = 2² = 4        (2)

Từ (1) , (2) suy ra :

\(x+\frac{4}{x}=5\Leftrightarrow x^2+4=5x\Leftrightarrow x^2-5x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0\Leftrightarrow x=1;4\)

Vậy , nếu điểm C ( thuộc tia Ax ) cách điểm A là 1 cm hoặc 4 cm thì chu vi hình thang ABDC vẫn bằng 14cm

                                                           bài làm

a, gọi H là tiếp điểm của tiếp tuyến MN 

theo giả thuyết 2 tiếp tuyến AM và MH cắt nhau tại M

⇒ AM=MH ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

theo giả thuyết 2 tiếp tuyến HN cắt BN tại N

⇒ HN=BN ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

nên ta có: MN=HM=HN=\(\dfrac{1}{2}\)(AOH =HON)=90 độ

vậy góc MON=90 đọ và là tâm giác vuông tại O đường cao OH

b,theo giả thuyết 2 tiếp tuyến AM và MH cắt nhau tại M

⇒ AM=MH ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

theo giả thuyết 2 tiếp tuyến HN cắt BN tại N

⇒ HN=BN ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: OI^2=MI.INOH2=MH.HNAM.BN=MI.NI=OI^

Vì vậy $AM.BN=MH.NH=\backslash (OH^2\backslash )$=\(R^2\)

a) Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với nửa đường tròn (O).

Theo tính chất của tiếp tuyến cắt nhau, ta có:\widehat{MOA}=\widehat{MOI},\widehat{ION}=\widehat{NOB}MOA=MOI,ION=NOB.
Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOI}+\widehat{ION}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AOI}+\widehat{ION}\right)=90^oMON=MOI+ION=21​(AOI+ION)=90o.
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $MA=MI,IN=NB$.
 Vì vậy $AM.BN=MI.NI$.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: OI^2=MI.INOI2=MI.IN.
Vì vậy AM.BN=MI.NI=OI^2=R^2AM.BN=MI.NI=OI2=R2.
c)  Ta chứng minh được $\Delta AMO=\Delta IMO$, $\Delta INO=\Delta BNO$.
Diện tích hình thang AMNB bằng:
       S_{\Delta AMO}+S_{\Delta IMO}+S_{\Delta INO}+S_{\Delta BNO}SΔAMO​+SΔIMO​+SΔINO​+SΔBNO​.

      =2S_{\Delta MIO}+2S_{\Delta ION}=2SΔMIO​+2SΔION​ =2\left(S_{\Delta MIO}+S_{\Delta ION}\right)=2(SΔMIO​+SΔION​)=2S_{\Delta MON}=2SΔMON​.
Suy ra diện tích hình thang AMNB nhỏ nhất khi diện tích tam giác MON nhỏ nhất.
S_{\Delta MON}=\dfrac{1}{2}OI.MN=\dfrac{1}{2}.R.MNSΔMON​=21​OI.MN=21​.R.MN.
Vậy để diện tích MON nhỏ nhất thì MN có độ dài nhỏ nhất.
$MN=MI+IN$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \left(MI+IN\right)^2\ge4\text{ }MI.IN=4R^2(MI+IN)2≥4 MI.IN=4R2.
Suy ra \min_{MI+IN}=2RminMI+IN​=2R.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $MI=IN=R$.
Suy ra $AM=MI=IN=NB$$=R$.
Vậy điểm M thuộc tia Ax sao cho $AM=R$ thì hình thang AMNB có diện tích nhỏ nhất.

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Trong tam giác BND, ta có AC // BD

Suy ra: ND/NA = BD/AC (hệ quả định lí Ta-lét)     (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM và BD = DM      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ND/NA = MD/MC

Trong tam giác ACD, ta có: ND/NA = MD/MC

Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: AC ⊥ AB (vì Ax ⊥ AB)

Suy ra: MN ⊥ AB