Đáp án D

Cách 1 (cách hình học): Gọi M ( x ; y ) x . y ∈ ℝ  là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Có: z + 2 m = m + 1 ≥ 0  

TH1: m + 1 = 0 ⇔ ⇔ m = - 1 ⇒ z = 2  (loại) vì không thỏa mãn phương trình: z - 1 = z - i  

TH2: m + 1 > 0 ⇔ m > - 1  

Theo bài ra ta có:

z - 1 = z - i z + 2 m = m + 1 ⇔ x - 1 + y i = x + y - 1 i x + 2 m + y i = m + 1 ⇔ x - 1 2 + y 2 = x 2 + y - 1 2 x + 2 m 2 + y 2 = m + 1 2 ⇔ x - y = 0 1 x + 2 m 2 + y 2 = m + 1 2 2 *

Từ (1) suy ra: tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn của số phức z là đường thẳng: ( ∆ ) :   x - y = 0  

Từ (2) suy ra: tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn của số phức z là đường tròn

( C ) :   T â m   I ( - 2 m ; 0 ) b k   R = m + 1  

Khi đó: M ∈ ∆ ∩ ( C ) ⇒  số giao điểm M chính là số nghiệm của hệ phương trình (*).

Để tồn tại hai số phức phân biệt z 1 , z 2  thỏa mãn ycbt ⇔ ( C )  cắt ∆  tại hai điểm phân biệt

⇔ d I , ∆ < R ⇔ - 2 m 2 < m + 1 m + 1 > 0 ⇔ - m + 1 < 2 m < m + 1 m + 1 > 0 ⇔ 1 - 2 < m < 1 + 2 m > - 1

Vì m ∈ ℝ ⇒ m ∈ S 0 ; 1 ; 2 . Vậy tổng các phần tử của S là 0+1+2=3.

Cách 2 (cách đại số):

Giả sử: z = x + y i x ; y ∈ ℝ  

Có:  z + 2 m = m + 1 ≥ 0

TH1: m + 1 = 0 ⇔ ⇔ m = - 1 ⇒ z = 2  (loại) vì không thỏa mãn phương trình: z - 1 = z - i  

TH2: m + 1 > 0 ⇔ m > - 1  (1)

Theo bài ra ta có:

z - 1 = z - i z + 2 m = m + 1 ⇔ x - 1 + y i = x + y - 1 i x + 2 m + y i = m + 1 ⇔ x - 1 2 + y 2 = x 2 + y - 1 2 x + 2 m 2 + y 2 = m + 1 2 ⇔ y = x x + 2 m 2 + x 2 = m + 1 2 ⇔ y = x 2 x 2 + 4 m x + 3 m 2 - 2 m + 1 = 0 *

Để tồn tại hai số phức phân biệt z 1 , z 2  thỏa mãn ycbt PT (*) có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆ ' = 4 m 2 - 2 ( 3 m 2 - 2 m - 1 ) = 2 - m 2 + 2 m + 1 > 0 ⇔ 1 - 2 < m < 1 + 2 ( 2 )

Kết hợp điều kiện (1) và (2),  m ∈ ℝ ⇒ m ∈ S = 0 ; 1 ; 2

Vậy tổng các phần tử của S là: 0+1+2=3

Chọn đáp án D.

Đặt \(z=x+yi\Rightarrow w=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}-x-yi}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x+yi}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)^2+y^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)^2+y^2}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2x^2+2y^2-2x\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{\sqrt{x^2+y^2}\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=16\)

\(\Rightarrow\) Tập hợp \(z_1;z_2\) là đường tròn tâm O bán kính \(R=4\)

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn \(z_1;z_2\), do \(\left|z_1-z_2\right|=2\Rightarrow MN=2\)

Gọi \(P\left(0;5\right)\) và Q là trung điểm MN

\(\Rightarrow P=MP^2-NP^2=\overrightarrow{MP}^2-\overrightarrow{NP}^2=\left(\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{NP}\right)\left(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}\right)\)

\(=2\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{MN}\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}\right)=2\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PO}=2MN.PO.cos\alpha\)

Trong đó \(\alpha\) là góc giữa \(MN;PO\)

Do MN, PO có độ dài cố định \(\Rightarrow P_{max}\) khi \(cos\alpha_{max}\Rightarrow\alpha=0^0\Rightarrow MN||PO\)

Mà MN=2 \(\Rightarrow M\left(\sqrt{15};-1\right);N\left(\sqrt{15};1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{PM}=\left(\sqrt{15};-6\right)\\\overrightarrow{PN}=\left(\sqrt{15};-4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P_{max}=PM^2-PN^2=15+36-\left(15+16\right)=20\)

Đáp án A.

Phương trình đã cho tương đương với:

2 x 2 + m x + 1 = x 2 + 6 x + 9 x ≥ − 3 ⇔ x 2 + m − 6 x − 8 = 0 1 x ≥ − 3

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt  x 2 > x 1 ≥ − 3

⇔ Δ > 0 x 1 + x 2 ≥ − 6 x 1 + 3 x 2 + 3 ≥ 0 ⇔ m − 6 2 + 32 > 0 − m − 6 ≥ − 6 − 8 + 3. − m + 6 + 9 ≥ 0 ⇔ 6 − m ≥ − 6 19 − 3 m ≥ 0 ⇔ m ≤ 12 m ≤ 19 3 ⇔ m ≤ 19 3

Do đó  

a b = 19 3 ⇒ a = 19 b = 3 ⇒ B = a 2 − b 3 = 19 2 − 3 3 = 334.

Đáp án C.

Đặt t = sin x , t ∈ − 1 ; 1 . Phương trình đã cho trở thành  2 t + 1 t + 2 = m    (*).

Để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 0 ; π  thì phương trình (*) phải có đúng một nghiệm thuộc nửa khoảng 0 ; 1 .

Xét hàm số f t = 2 t + 1 t + 2 . Ta có  f ' t = 3 t + 2 2   .

Bảng biến thiên của :

Vậy để phương trình (*) có đúng một nghiệm thuộc nửa khoảng 0 ; 1  thì m ∈ 1 2 ; 1 . Vậy C là đáp án đúng

Đáp án C

Đáp án D.