\(B=\sqrt{x^2-6x+2y^2+4y+11}+\sqrt{x^2+2x+3y^2+6y+4}=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)

A/dụng bđt Mincốpxki có:

\(B=\sqrt{\left(3-x\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\ge\sqrt{\left(3-x+x+1\right)^2+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\left(y+1\right)^2}=\sqrt{4^2+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\left(y+1\right)^2}\ge\sqrt{4^2}=4\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=3;y=-1\\x=1;y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy Min_B = 4 <=> (x;y) = (3;-1); (1;-1)

nhanh thế

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(2x^2+3xy+4y^2\ge3\sqrt[3]{2x^2\cdot3xy\cdot4y^2}=3\sqrt[3]{24x^3y^3}\Rightarrow\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}\ge\sqrt{xy\cdot3\sqrt[3]{24}}\)

Tương tự: \(\sqrt{2y^2+3yz+4z^2}\ge\sqrt{yz\cdot3\sqrt[3]{24}}\);  \(\sqrt{2z^2+3zx+4x^2}\ge\sqrt{zx\cdot3\sqrt[3]{24}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT vừa tìm, ta được:

\(P\ge\sqrt{3\sqrt[3]{24}}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=\sqrt{3\sqrt[3]{24}}=\sqrt[6]{648}\)

Xem lại đề .
Có lẽ là 2x^2+3xy+2y^2 ((:

Áp dụng BĐT Buniacoxki ta có

\(\left(2x^2+3xy+4y^2\right)\left(2+3+4\right)\ge\left(2x+3\sqrt{xy}+4y\right)^2\)

=> \(\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}\ge\frac{2x+3\sqrt{xy}+4y}{3}\)

Khi đó

\(P\ge\frac{1}{3}\left(6x+6y+6z+3\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\right)\)

Lại có \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)

=> \(P\ge3\left(\sqrt{yz}+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\right)=3\)

MinP=3 khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2+9}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}\ge\sqrt{\left(3-x\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+2^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(3-x+x+1\right)^2+\left(3+2\right)^2}\text{ }\left(Mincopxki\right)\)

\(=\sqrt{41}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(y+1=0\text{ và }\frac{3-x}{x+1}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow y=-1;\text{ }x=\frac{3}{5}.\)

Vậy GTNN của A là \(\sqrt{41}\)

\(A=\sqrt{x^2-6x+9+2\left(y^2+2y+1\right)}+\sqrt{x^2+2x+1+3\left(y^2+2y+1\right)}.\)

\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)

Với mọi giá trị được xác định của x; giá trị của biến y không phụ thuộc vào x, ta luôn có:

\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\le\sqrt{\left(x-3\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2}\)(1)

Dấu "=" khi y = -1.

(1) \(\Rightarrow A\le\left|x-3\right|+\left|x+1\right|\)(2)

Vậy GTNN của A = 4 khi -1<= x <= 3 và y = -1.

Ta có: \(\sqrt{x^2+y^2+4x-2y+5}+\sqrt{x^2+y^2-8x-14y+65}=6\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2}+\sqrt{\left(4-x\right)^2+\left(7-y\right)^2}=6\sqrt{2}\left(^∗\right)\)

Xét hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(x+2;y-1\right)\)và \(\overrightarrow{v}=\left(4-x;7-y\right)\)

Ta có: \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(6;6\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\)

Do vậy \(\left(^∗\right)\)trở thành\(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|\)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u}\)và \(\overrightarrow{v}\)cùng hướng

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+2\right)\left(7-y\right)=\left(y-1\right)\left(4-x\right)\\\left(x+2\right)\left(4-x\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x+3\\-2\le x\le4\end{cases}}\)

Khi y = x + 3 thì \(x^2+y^2-2x+2y+2=2x^2+6x+17\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=2x^2+6x+17\)trên đoạn \(\left[-2;4\right]\)

Ta có: \(-\frac{6}{2.2}=\frac{-3}{2}\in\left[-2;4\right]\)và \(f\left(-2\right)=13;f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{25}{2};f\left(4\right)=73\)

Suy ra \(|^{min}_{\left[-2;4\right]}f\left(x\right)=\frac{25}{2}\);\(|^{max}_{\left[-2;4\right]}f\left(x\right)=73\)

Do đó \(m=\frac{25}{2};M=73\)và \(n+M=\frac{171}{2}\)

Vậy \(n+M=\frac{171}{2}\)