a) Gọi ước chung của 4n + 3 và 5n + 7 là d

Ta có : 

+) 4n + 3 ⋮ d => 5( 4n + 3 ) ⋮ d => 20n + 15 ⋮ d (1)

+) 5n + 7 ⋮ d => 4( 5n + 7 ) ⋮ d => 20n + 21 ⋮ d (2)

Lấy (2) trừ (1) ta được :

20n + 21 - 20n - 15 

= 6

=> ước chung của 4n + 3 và 5n + 7 là 6 = { 1; 2; 3; -1; -2; -3 }

Dễ thấy 4n + 3 và 5n + 7 đều ko chia hết cho 2 và 3

=> ước chung của 4n + 3 và 5n + 7 là 1

=> d = 1

Vậy ta có 4n + 3 và 5n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau ( đpcm )

b) tương tự

câu 1 :

gọi UCLN (2n+3;n+2) là d

ta có :

2n+3 chia hết cho d

n+2 chia hết cho d => 2(n+2) chia hết cho d => 2n+4 chia hết cho d

=>(2n+4)-(2n+3) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

Vậy UCLN(2n+3;n+2) =1

câu 2 :

a)

gọi hai số tự nhiên liên tiếp là a;a+1

gọi UCLN(a;a+1) là d

ta có : a chia hết cho d

a+1 chia hết cho d

=>(a+1)-a chia hết cho d 

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>UCLN(a;a+1 )=1

=>a;a+1 nguyên tố cùng nhau 

Vậy hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau

b) bạn xem lại đề VD : hai số lẻ là 15 và 27 ko nguyên tố cùng nhau nhé !

câu 3:

3n+14 chia hết cho n+2

=>3(n+2) + 8 chia hết cho n+2

=>n+2 thuộc U(8)={1;-1;2-2;4;-4;8;-8}

=>n thuộc {-1;-3;0;-4;2;-6;6;-10}

Mọi số tự nhiên đều viết dưới dạng 5k; 5k+1 ; 5k+2 ; 5k+3 ; 5k+4; 5k+5

- Nếu p = 5k+1 => p+14=5p+15= 5(p+3) chia hết cho 5 (loại)

- Nếu p = 5k+2 => p+8 = 5p+10 = 5(p+2) chia hết cho 5 (loại)

- Nếu p = 5k+3 => p+12 = 5p+15 = 5(p+3) chia hết cho 5 (loại)

- Nếu p = 5k+4 => p+6 = 5p+10 = 5(p+2) chia hết cho 5 (loại)

=> p chỉ có thể là 5k. Mà p là nguyên tố nên p = 5

Vậy p = 5

                Học tốt! (Mình chỉ biết chứng minh vậy thôi)

\(Taco::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::\)

\(GỌi:ƯCLN\left(2n+1;7n+2\right)=d\Rightarrow7\left(2n+1\right)-2\left(7n+2\right)⋮d\Rightarrow3⋮d\)

Để 2n+1 và 7n+2 nguyên tố cùng nhau thì: 2n+1 hoặc 7n+2 ko chia hết cho 3

Giả sử: 2n+1 chia hết cho 3

=> 2n+1-3 chia hết cho 3

=> 2n-2 chia hết cho 3

=> 2(n-1) chia hết cho 3=> n-1 chia hết cho 3

Giả sử: 7n+2 chia hết cho 3

=> 7n+2-9 chia hết cho 3

=>.........

Vậy với n khác 3k+1;3k+2 thì thỏa mãn

MK nhầm chỉ khác 3k+1 nha bỏ đoạn dưới

Thank you nha!

Cách này nữa nè em:

p là số nguyên tố =>p>=2 
xét p=2 => p+10 =12 (không là số nguyên tố) 
xét p=3 => p+10 =13 (là số nguyên tố ) ,p+14 =17 (là số nguyên tố) 
=> p=3 thỏa mãn đề bài 
xét p là số nguyên tố >3 => p không chia hết cho 3 . nếu p chia 3 dư 1 
=> p+14 chia hết cho 3 mà p+14 >3 => p+14 không là số nguyên tố => vô lý 
nếu p chia 3 dư 2=> p+10 chia hết cho 3 mà p+10 >3 => p+10 không là số nguyên tố 
vậy với p là số nguyên tố >3 thì p không thỏa mãn đề bài 
p=3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài 

c)Xét trường hợp p= 2=> p+10= 12(không phải là số nguyên tố)

Xét trường hợp p= 3=> p+ 10= 13; p+ 14= 17 (đều là số nguyên tố)

Xét p>3=> p có một trong 2 dang 3k+1; 3k- 1

+)Với p= 3k+1=> p+14= 3k+1+14=3k+15 chia hết cho 3

+)Với p= 3k-1=> p- 10= 3k- 1+ 10= 3k+9 chia hết cho 3

Vậy p= 3 thì p+10 và p+14 cũng là số nguyên tố