Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C’) của hàm số:
y = x + 1 3 − 3x − 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
y = − x 3 + 3x + 1
b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C’) của hàmsố:
y = ( x + 1 ) 3 − 3x − 4
c) Dựa vào đồ thị (C’), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
( x + 1 ) 3 = 3x + m
d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C’), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
a)
b) Tịnh tiến (C) song song với trục Ox sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị (C1) của hàm số.
y = f(x) = − ( x + 1 ) 3 + 3(x + 1) + 1 hay f(x) = − ( x + 1 ) 3 + 3x + 4 (C1)
Lấy đối xứng (C1) qua trục Ox, ta được đồ thị (C’) của hàm số y = g(x) = ( x + 1 ) 3 − 3x – 4
c) Ta có: ( x + 1 ) 3 = 3x + m (1)
⇔ ( x + 1 ) 3 − 3x – 4 = m – 4
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đường :
y = g(x) = ( x + 1 ) 3 − 3x – 4 (C’) và y = m – 4 (d1)
Từ đồ thị, ta suy ra:
+) m > 5 hoặc m < 1: phương trình (1) có một nghiệm.
+) m = 5 hoặc m = 1 : phương trình (1) có hai nghiệm.
+) 1 < m < 5 , phương trình (1) có ba nghiệm.
d) Vì (d) vuông góc với đường thẳng:
nên ta có hệ số góc bằng 9.
Ta có: g′(x) = 3 ( x + 1 ) 2 – 3
g′(x) = 9 ⇔
Có hai tiếp tuyến phải tìm là:
y – 1 = 9(x – 1) ⇔ y = 9x – 8;
y + 3 = 9(x + 3) ⇔ y = 9x + 24.
Cho hàm số y = 3 - x x + 1 có đồ thị (H)
Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H’) có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 2.
Từ đồ thị hàm số (H), để có hình (H’) nhận y = 2 là tiệm cận ngang và x = 2 là tiệm cận đứng, ta tịnh tiến đồ thị (H) song song với trục Oy lên trên 3 đơn vị, sau đó tịnh tiến song song với trục Ox về bên phải 3 đơn vị, ta được các hàm số tương ứng sau:
a) Cho hàm số có đồ thị (H)
Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H’) có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 2.
b) Lấy đối xứng (H’) qua gốc (O), ta được hình (H’’). Viết phương trình của (H’’).
a) Từ đồ thị hàm số (H), để có hình (H’) nhận y = 2 là tiệm cận ngang và x = 2 là tiệm cận đứng, ta tịnh tiến đồ thị (H) song song với trục Oy lên trên 3 đơn vị, sau đó tịnh tiến song song với trục Ox về bên phải 3 đơn vị, ta được các hàm số tương ứng sau:
b) Lấy đối xứng hình (H’) qua gốc O, ta được hình (H’’) có phương trình là:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số :
\(y=-x^3+3x+1\)
b) Chỉ ra phép biến hình (C) thành đồ thị (C') của hàm số
\(y=\left(x+1\right)^3-3x-4\)
c) Dựa vào đồ thị (C') biện luận theo m số nghiệm của phương trình
\(\left(x+1\right)^3=3x+m\)
d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C') biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(y=-\dfrac{x}{9}+1\)
cho hàm số:y=-x+2/2x+1 (c)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị (c) của hàm số
b) tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đô thị (c) , trục ox và trục oy
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như Hình 9. Chỉ ra khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Từ đồ thị hàm số ta thấy khi x tăng từ -3 đến -1 và từ -1 đến 0 thì đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến trên các khoảng (-3;-1) và (-1;0).
Khi x tăng từ 0 đến 2 thì đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến trên (0;2).
Cho hàm số
a) Xác định a để hàm số luôn đồng biến.
b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a = 3/2.
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số
a) Ta có
y' = (a - 1) x 2 + 2ax + 3a - 2.
Với a = 1, y' = 2x + 1 đổi dấu khi x đi qua -1/2. Hàm số không đồng biến.
Với a ≠ 1 thì với mọi x mà tại đó y' ≥ 0
(y' = 0 chỉ tại x = -2, khi a = 2).
Vậy với a ≥ 2 hàm số luôn đồng biến
b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có
y = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
(a - 1) x 2 + 3ax + 9a - 6 = 0
Có hai nghiệm phân biệt khác 0. Muốn vậy, ta phải có
Giải hệ trên, ta được:
c) Khi a = 3/2 thì
y' = 0 ⇔ x 2 + 6x + 5 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -5.
Đồ thị như trên Hình 1.18
Vì
nên từ đồ thị (C) ta suy ngay ra đồ thị của hàm số
như trên Hình 1.19
Vẽ đồ thị các hàm số sau và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của chúng.
a) \(y=-2x+1\);
b) \(y=-\dfrac{1}{2}x^2.\)
Nhìn vào đồ thị, ta thấy:
a) Hàm số \(y = - 2x + 1\)nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
b) Hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Cho hàm số y = 3 − x x + 1 có đồ thị (H). Một phép dời hình biến (H) thành (H') có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 2. Lấy đối xứng (H’) qua gốc toạ độ được hình (H''). Tìm phương trình của (H'')
A. y = 6 − 2 x x + 2
B. y = 2 x − 6 x + 2
C. y = − 2 x x + 2
D. y = 2 x x + 2
Đáp án C
Xét đồ thị hàm số y = 3 − x x + 1 đường tiệm cận ngang y = − 1 và đường tiệm cận đứng x = − 1 . Gọi I − 1 ; − 1 là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (H). Gọi I ' 2 ; 2 là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị
Phép dời hình đồ thị (H )thành là phép tịnh tiến theo vecto v → = I I ' → = 3 ; 3
Giả sử đồ thị (H') có phương trình y = a x + b c x + d ; a d − b c ≠ 0
⇒ a c = 2 − d c = 2 ⇒ a = 2 c − d = 2 c ⇒ y = 2 c x + b 6 c − 2 c
Lấy
A 3 ; 0 ∈ H ⇒ A ' 6 ; 3 ∈ H ' ⇒ 12 c + b 6 c − 2 c = 3 ⇒ b = 0
Vậy H ' : y = 2 x x − 2 . Lấy đối xứng (H') qua gốc toạ độ ta được H ' ' : − y = − 2 x − x − 2 ⇒ y = − 2 x x + 2