Giả sử đa diện (H) có m mặt. Vì mỗi mặt của (H) có 3 cạnh, nên m mặt có 3m cạnh. Nhưng mỗi cạnh của (H) là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của (H) bằng c = \(\dfrac{3m}{2}\). Do c là số nguyên dương nên m phải là số chẵn. Ví dụ : Số cạnh của tứ diện bằng sáu.

Cho khối đa diện G có các đỉnh là  lần lượt là số các mặt của H nhận chúng làm đỉnh chung. Tổng số các cạnh của G là:

tự nhiên lẻ nên tổng của chúng là số chẵn khi n chẵn.

Ví dụ: Hình chóp ngũ giác  là đỉnh chung của 5 mặt bên. Mỗi đỉnh

B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6  là đỉnh chung của ba mặt (hình trên).

Giả sử đa diện (H) có các đỉnh là , gọi lần lượt là số các mặt của (H) nhận chúng là đỉnh chung. Như vậy mỗi đỉnh  có  cạnh đi qua. Do mỗi cạnh của (H) là cạnh chưn của đúng hai mặt nên tổng số các cạnh của H bằng                                                                                                         

Vì c là số nguyên,  là những số lẻ nên Đ phải là số chẵn. Ví dụ : Số đỉnh của hình chóp ngũ giác bằng sáu.

Giả sử đa diện (H) có các đỉnh là A₁, … A_d gọi m₁, … m_d lần lượt là số các mặt của (H) nhận chúng là đỉnh chung. Như vậy mỗi đỉnh Ak có mk cạnh đi qua. Do mỗi cạnh của (H) là cạnh chung của đúng hai mặt nên tổng số các cạnh của H bằng

Vì c là số nguyên, m₁, … m_d là những số lẻ nên Đ phải là số chẵn. Ví dụ : Số đỉnh của hình chóp ngũ giác bằng sáu.

Giả sử đa diện (H)(H) có các đỉnh là A1,…AdA1,…Ad, gọi m1,…mdm1,…md lần lượt là số các mặt của (H)(H) nhận chúng là đỉnh chung, ở đó m1,…mdm1,…md là những số lẻ.

Như vậy mỗi đỉnh AkAk có mkmk cạnh đi qua.

Ta có: đỉnh A1A1 có m1m1 cạnh đi qua.

đỉnh A2A2 có m2m2 cạnh đi qua.

...

đỉnh AdAd có mdmd cạnh đi qua.

Do đó số các cạnh (có thể trùng nhau) của đa diện là m1+m2+...+mdm1+m2+...+md.

Tuy nhiên, do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh ở trên được đếm hai lần.

Vậy số cạnh thực tế của (H)(H) bằng

c=12(m1+m2+...+md)c=12(m1+m2+...+md)      

Vì cc là số nguyên, m1,…mdm1,…md là những số lẻ nên dd phải là số chẵn.

Ví dụ : Hình chóp ngũ giác.

Đỉnh S là đỉnh chung của 5 mặt, tất cả các đỉnh còn lại là đỉnh chung của 3 mặt, hình chóp ngũ giác có 6 đỉnh

giup mình cày Sp vơi

Đáp án là .D...

Số cạnh trong M  tam giác là 3 M tuy nhiên cạnh được nhắc lại 2 lần nên do đó  3 M = 2 C .

Đáp án A

Nếu số mặt là 6 dễ thấy số cạnh là 9, nếu số mặt là 4 thì số cạnh là 6 do đó   (2) sai.

Đáp án A

Nếu số mặt là 6 dễ thấy số cạnh là 9, nếu số mặt là 4 thì số cạnh là 6 do đó (2) sai.

Đáp án C

Bài toán đúng với mọi đa diện có mặt là tam giác, vậy để đơn giản, ta chọn đa diện là tứ diện. Tứ diện có 4 mặt và 6 cạnh  ⇒ M = 4 , C = 6 ⇒ 3 M = 2 C