Ta có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(hiển nhiên đúng với mọi  \(a,b,c\in R\)  )

\(\Leftrightarrow\)  \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Mà  \(a^2+b^2+c^2=3\)  nên ta suy ra được  \(ab+bc+ca\le3\)  \(\left(i\right)\)

Mặt khác, áp dụng bđt Cauchy cho từng bộ số gồm các số không âm dưới đây, ta có:

\(\text{*)}\)  \(a^2+1\ge2\sqrt{a^2.1}=2\text{│}a\text{│}\ge2a\) \(\left(1\right)\)

\(\text{*)}\)  \(b^2+1\ge2\sqrt{b^2.1}=2\text{│}b\text{│}\ge2b\)  \(\left(2\right)\)

\(\text{*)}\)  \(c^2+1\ge2\sqrt{c^2.1}=2\text{│}c\text{│}\ge2c\)  \(\left(3\right)\)

Cộng ba bđt  \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\)  vế theo vế, ta chứng minh được:

\(a+b+c\le\frac{a^2+b^2+c^2+3}{2}=\frac{3+3}{2}=3\)  \(\left(ii\right)\)

Cộng từng vế  \(\left(i\right)\)  và  \(\left(ii\right)\)  suy ra đpcm

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b=c=1\)

do a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ca (tự cm) 

=> 3>= ab+bc+ca * 

giờ ta chỉ việc chứng minh a+b+c =< 3 và cộng với vế *

giả sử a+b+c =< 3 thì (a+b+c)^2 =< 9

ta chứng minh điều này bằng cách dùng bđt cauchy-schwarz 

=> ( a+b+c)^2 =< (1^2+1^2+1^2)( a^2+b^2+c^2) 

=> ( a+b+c)^2 =< 3( a^2+b^2+c^2) 

theo đề a^2+b^2+c^2 =3 v ta có ( a+b+c)^2 =< 9 đúng với giả thiết nêu trên

Với mọi số thực a;b;c ta luôn có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\) (1)

Tương tự: \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2a+2b+2c\) (2)

Cộng vế với vế (1) và (2)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\le6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

bài này ko khác gì câu 921427 nhé bạn, có điều bạn tìm cách tách a + 3b + 2c = (a + b) + (b + c) + (b + c)

Thêm nữa, áp dụng BĐT   \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)  với a, b, c > 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

EZ!!!Sau khi sử dụng 1 số bđt đơn giản, ta sẽ được:

\(\text{Σ}_{cyc}\frac{ab}{a+3b+2c}\le\frac{1}{9}\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)=K\)

\(P\le K=\frac{1}{9}\left[\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\frac{a+b+c}{2}\right]\)

\(=\frac{1}{9}\left(b+a+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2

Ta có 

\(x^2+y^2\ge2xy\)hay\(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\left(\forall x,y\right)\)

\(=>ab+bc+ca+a+b+c\le\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}+\frac{a^2+1}{2}\)

                                                                            \(+\frac{b^2+1}{2}+\frac{c^2+1}{2}\)

\(=a^2+b^2+c^2+\frac{a^2+b^2+c^2+3}{2}\left(do\right)a^2+b^2+c^2=3\)

\(=>=3+\frac{3+3}{2}=6\)

=> dpcm

cậu zô trang tuyển tập những toán hay nhá. Nơi đó nhiều bài hay lắm

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 > 0

(b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2 > 0

(c - a)^2 = c^2 - 2ac + a^2 > 0

=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 > 2ab + 2bc + 2ac 

=> 6 > 2ab + 2bc + 2ac

=> 3 > ab + bc + ac    (1)

(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1 > 0

(b - 1)^2 = b^2 - 2b + 1 > 0

(c - 1)^2 = c^2 - 2c + 1 > 0

=>  a^2 + b^2 + c^2 + 1 + 1 + 1 > 2a + 2b + 2c

=> 6 > 2a + 2b + 2c

=> 3 > a + b + c   và (1)

=> 6 > ab + ac + bc + a + b + c

Đảo lại của Đề vào 10 Hà Nội 2013-2014

Dễ thấy 2 điều như thế này:

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(c^2+1\right)\ge2a+2b+2c\Rightarrow3\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge ab+bc+ca+a+b+c\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca+a+b+c\le6\) ( đpcm )

B

B

B

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{bc}{a+3b+2c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{c}{2}\right)\)

\(\frac{ca}{b+3c+2a}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{a}{2}\right)\)

\(\frac{ab}{c+3a+2b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b}+\frac{b}{2}\right)\)

Cộng theo vế của 3 BĐT ta có:

\(VT\le\frac{1}{9}\left(\frac{a+b+c}{2}+\frac{ca+ab}{a+c}+\frac{ab+bc}{a+b}+\frac{bc+ca}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{9}\left(a+b+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=1\)

Dấu "=" khi a=b=c=2

chờ tí mk lm nốt btvn hẵng