Đáp án A

Đổi 300 m =0,3 km, 800 m = 0,8 km

7,2 phút =0,12(h)

Gọi khoảng cách từ C đến D là x (km) (0,8>x>0)

Khi đó, DB=0,8-x (km)

Theo định lý Py-ta-go ta có: \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} \)\( = \sqrt {0,{3^2} + x^2} \) (km)

Thời gian đi từ A đến D là: \(\frac{{\sqrt {0,{3^2} + x^2} }}{6}\left( h \right)\)

Thời gian đi từ D đến B là: \(\frac{{0,8 - x}}{{10}}\left( h \right)\)

Tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {0,{3^2} + {x^2}} }}{6} + \frac{{0,8 - x}}{{10}} = 0,12}\\
{ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {x^2}} + 3.\left( {0,8 - x} \right) = 0,12.30}\\
{ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {x^2}} - 3x - 1,2 = 0}\\
{ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {x^2}} = 3x + 1,2}\\
{ \Rightarrow 25.\left( {0,{3^2} + {x^2}} \right) = {{\left( {3x + 1,2} \right)}^2}}\\
{ \Leftrightarrow 25.\left( {{x^2} + 0,09} \right) = 9{x^2} + 7,2x + 1,44}\\
{ \Leftrightarrow 16{x^2} - 7,2x + 0,81 = 0}\\
{ \Leftrightarrow x = 0,225 \, \, \, (TM)}
\end{array}\)

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 225m.

 Đáp án C

Đặt   H Y = x 0 ≤ x ≤ 8 khi đó thời gian người đó đến Z là:  f x = 1 6 9 + x 2 + 1 8 8 − x

f ' = x 6 9 + x 2 − 1 8 = 4 x − 3 9 + x 2 24 9 + x 2 ⇒ f ' = 0 ⇔ x = 9 7

⇒ M i n f = M i n f 0 ; f 8 ; f 9 7 = M i n 3 2 ; 73 6 ; 7 8 + 1 = 1 + 7 8

Cách vị trí dự định: 50m

Đáp án D

Thời gian đi từ A đến B là t A B = 3 2 + 8 2 6 = 73 6 h  .

Thời gian đi từ A đến C rồi đến B là t A C B = 3 6 + 8 8 = 3 2 h

Gọi C D = x k m ⇒ t A D B = x 2 + 9 6 + 8 − x 8 h .

Xét hàm số f x = x 2 + 9 6 + 8 − x 8 0 ≤ x ≤ 8

f ' x = x 6 x 2 + 9 − 1 8 ⇒ f ' x = 0 ⇔ x = 9 7 .

Suy ra f 0 = 3 2 = t A C B , f 8 = 73 6 = t A B , f 9 7 = 1 + 7 8 .

Suy ra thời gian ngắn nhất bằng 1 + 7 8 h .

Cho (1) là ca nô, (2) là nước, (3) là bờ sông.

(a) Trong 100s, nước chảy đưa ca nô chếch từ vị trí B đến C, nên vận tốc của dòng nước so với bờ là: \(v_{23}=\dfrac{BC}{t}=\dfrac{200}{100}=2\left(m/s\right)\)

(b) Dựa vào hình vẽ, dễ thấy: \(\hat{ADB}=\alpha=60^o\).

Khi đi theo hướng \(AD:v_{12}=v_{12}';v_{23}=v_{23}'=2\left(m/s\right)\)

\(v_{23}'\) là vận tốc của dòng nước so với bờ sông, tức vecto này hướng theo hướng vector \(\overrightarrow{DB}\), \(v_{12}'\) là vận tốc của ca nô so với dòng nước, tức vecto này theo hướng vector \(\overrightarrow{AD}\).

Dựa vào hình vẽ và hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(v_{12}'=\dfrac{v_{23}'}{cos\hat{ADB}}=\dfrac{2}{cos60^o}=4\left(m/s\right)\).

(c) Khi đi theo hướng \(AC\), vector \(\overrightarrow{v_{12}}\) hướng theo hướng vector \(\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow AB=v_{12}t=4\cdot100=400\left(m\right)\)

(d) Khi đi theo hướng \(AD\), vận tốc của thuyền so với bờ là \(v_{13}'=v_{12}'sin\hat{ADB}=4\cdot sin60^o=2\sqrt{3}\left(m/s\right)\)

Thời gian qua sông lần sau: \(t'=\dfrac{AB}{v_{13}'}=\dfrac{400}{2\sqrt{3}}\approx115,47\left(s\right)\)

Ta có: \(\widehat C = {65^o} - {35^o} = {30^o}\)(tính chất góc ngoài)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}}\)

\( \Leftrightarrow AC = \frac{{50.\sin ({{180}^o} - {{65}^o})}}{{\sin {{30}^o}}} \approx 90,63.\)

Độ rộng của khúc sông là: \(AC.\sin A = 90,63.\sin {35^o} \approx 52\;(m)\)

Giải:

Theo đề ta có:

\(v_{23}=v^0\)

\(v_{13}=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow v_{13}=v_{12}+v_{23}\)

\(\Rightarrow v_{12}=\sqrt{a^2+b^2}-v^0\)

Vì \(v^0\) không đổi

Để \(v_{12}\) min thì \(\sqrt{a^2+b^2}\) min

\(\Leftrightarrow \) \(a^2+b^2\) min

Mà \(a^2+b^2\) \(\geq 2\) \(\sqrt{ab}\)

Dấu ''='' xảy ra khi

\(a=b\)

Vậy: \(v_{12}=a\sqrt{2}-v^0\)

\(\Leftrightarrow \)