a)

Đặt AB=AC=a (không đổi); BD=AE=b (0<x<a)

Áp dụng định lý Pi-ta go với \(\Delta ADE\) vuông tại A ta có:

\(DE^2=AD^2+AE^2=\left(a-x\right)^2+a^2=2x^2-2ax+a^2\)\(=2\left(x^2-ax\right)-a^2\)

\(=2\left(x-\frac{a^2}{4}\right)^2+\frac{a^2}{2}\ge\frac{a^2}{2}\)

Ta có DE nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\)\(DE^2\) nhỏ nhất\(\Leftrightarrow x=\frac{a}{2}\)

\(\Leftrightarrow BD=AE=\frac{a}{2}\Leftrightarrow D,E\) là trung điểm của AB;AC.

Vậy D;E phải là trung điểm của AB;AC thì DE có độ dài nhỏ nhất.

b)

Ta có:\(S_{ADE}=\frac{1}{2}.AD.AE=\frac{1}{2}.AD.BD\)\(=\frac{1}{2}AD\left(AB-AD\right)=\frac{1}{2}\left(AD^2-AB.AD\right)\)

\(=-\frac{1}{2}\left(AD^2-2\frac{AB}{2}.AD+\frac{AB^2}{4}\right)+\frac{AB^2}{8}\)\(=-\frac{1}{2}\left(AD-\frac{AB}{4}\right)^2+\frac{AB}{2}\le\frac{AB^2}{8}\)

Vậy \(S_{BDEC}=S_{ABC}-S_{ADE}\ge\frac{AB^2}{2}-\frac{AB^2}{8}=\frac{3}{8}AB^2\) không đổi.

Do đó: \(min_{S_{BDEC}}=\frac{3}{8}AB^2\)  khi D;E lần lượt là trung điểm của AB;AC.

ghi nhầm lung tung

Đặt \(S_{BDEC}=S,BD=AE=x\rightarrow AD=AB-x\)

Ta có: \(S=S_{\Delta ABC}-S_{\Delta ADE}=\dfrac{AB^2}{2}-\dfrac{x\left(AB-x\right)}{2}\)

Để S nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(AB-x\right)}{2}\) lớn nhất\(\Leftrightarrow x\left(AB-x\right)\) lớn nhất

Do x+(AB-x)=AB (khôngđổi)\(\Rightarrow x\left(AB-x\right)\) lớn nhất\(\Rightarrow x=AB-x\Leftrightarrow2x=AB\Rightarrow x=\dfrac{AB}{2}\)

\(\Rightarrow\)D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC

\(\rightarrow S_{min}=\dfrac{AB^2}{2}-\dfrac{\dfrac{AB}{2}\left(AB-\dfrac{AB}{2}\right)}{2}=\dfrac{4AB^2-2AB^2}{8}=\dfrac{3AB^2}{8}\)