a) \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} .\)

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 4.6.\cos \widehat {BAD} = 24.\cos {60^o} = 12.\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = {4^2} + 12 = 28.\\\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AC}  = (\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} )(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) = {\overrightarrow {AD} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} = {6^2} - {4^2} = 20.\end{array}\)

c) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABD ta có:

\(\begin{array}{l}\quad \;B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos A\\ \Leftrightarrow B{D^2} = {4^2} + {6^2} - 2.4.6.\cos {60^o} = 28\\ \Leftrightarrow BD = 2\sqrt 7 .\end{array}\)

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}\quad \;A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos B\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {4^2} + {6^2} - 2.4.6.\cos {120^o} = 76\\ \Leftrightarrow AC = 2\sqrt {19} .\end{array}\)

a: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=-AB^2=-a^2\)

b: \(=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(=-a^2-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}+AD^2\)

\(=-0+DA\cdot DB\cdot cos45=a\cdot a\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2\)

Ta có: \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

+) \(AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AD}  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0\)

+) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a\sqrt 2.\cos 45^\circ  = a^2\)

+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a\sqrt 2 .a.\cos 135^\circ  =  - {a^2}\)

+) \(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BD}  \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Chú ý

\(\overrightarrow {a}  \bot \overrightarrow {b}  \Leftrightarrow \overrightarrow {a} .\overrightarrow {b}  = 0\)

a) Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {2{a^2}}  = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = a.a\sqrt 2 .\cos \widehat {BAC} = {a^2}\sqrt 2 \cos {45^o} = {a^2}.\)

b) Dễ thấy: \(AC \bot BD \Rightarrow (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ) = {90^o}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = AC.BD.\cos {90^o} = AC.BD.0 = 0.\)

ABCD là hình vuông

=>AC\(\perp\)BD

=>\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\)

Xét tam giác ADB có : M là trung điểm của AB(gt) 

                                       N là trung điểm của AD(gt)

=> MN là đường trung bình của tam giác ADB ( đ/n) 

=> MN//DB và MN =1/2 DB ( t/c) 

Xét tam giác AMN và tam giác ABD có : MN // BD ( cmt)

tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABD ( hq đ/y ta lét)   => SAMN/SABD=(1/2)^2=1/4   (1)

Xét tam giác ABD và tam giác CDBcó 

AB=CD( ABCD là hbh ) 

góc A = góc C (nt)

AD=cb(nt)

=> tam giác ABD = tam giác CDB (cgc)

=> tam giác ABD đồng dạng tam giác CDB(t/c)   

=> tam giác ABD=1/2 HBh ABCD(2)

Từ 1 2 => SAMN/SABCD=1/8

Vẽ AH cắt MN tại H'

Ta có : AH'=HH'=(vì MN là trung điểm => )

Lại có:

SABC=12.AH.BC=60cm2SABC=12.AH.BC=60cm2 và SAMN=12AH′.MNSAMN=12AH′.MN.Mà

MN là đường trung bình của tam giác ABC=>

=>SAMN=12.12AH.12BC=14(12AH.BC)=12.60=15(cm2)SAMN=12.12AH.12BC=14(12AH.BC)=12.60=15(cm2)

Vậy SAMN=15cm2

wwa